Касательная и нормаль к графику функции

3
1) Дано уравнение кривой y  x  2 x  1 , точка x 0  0 и уравнение прямой 5 x  y  3  0 .
Требуется:
а) составить уравнения касательной и нормали к данной кривой y  f  x  в точке с абциссой x 0 ;
б) найти точку на кривой y  f  x  , в которой касательная параллельна данной прямой.


Уравнение касательной и нормали к графику функции y  x  в точке x 0 ; y 0 :
 y  y0   k  x  x0 
- касательная;
1
 y  y0    k  x  x0 
- нормаль, где k  y   x0 
а)
► Уравнение касательной в точке x 0 :
 y  y 0   y  x 0    x  x 0 

y    x 3  2 x  1  3 x 2  2
y  x 0   y  0   2
y  x 0   y  0   1
y   1  2   x  0 
y  1  2x
y  2x  1
3
- уравнение касательной к графику функции y  x  2 x  1 в точке x 0  0 .
► Уравнение нормали в точке x 0 :
 y  y 0    y
1
 x  x0 
 x0 
1
y   1     x  0 
2
x
y1 
2
1
y   x1
2
3
- уравнение нормали к графику функции y  x  2 x  1 в точке x 0  0 .
б)
3
Найдём точку на кривой y  x  2 x  1 , в которой касательная параллельна прямой
5x  y  3  0
y  5x  3
Обозначим эту точку
A  x A ; y A  ; тогда
 y  y A   y  x A    x  x A 
- касательная в этой точке; причём из условия параллельности её прямой
y  5 x  3 следует, что y  x A   5
(угловые коэффициенты одинаковы), а поскольку y   3 x  2 , то
2
1 3 x 2A  2  5
x 2A  1
x A1  1  y A1  2
x A2  1  y A2  4
Итак, таких точек две: A1  1 ;  4  и A1  1 ; 2  .
2) Составить уравнения касательной и нормали к графику функции, заданной параметрически;
 x  2t  t 2

3
 y  3t  t
в точках t 0  1 и t 1  2 .


Уравнение касательной и нормали к графику функции y  x  в точке x 0 ; y 0 :
 y  y0   k  x  x0 
- касательная;
1
 y  y0    k  x  x0 
- нормаль, где k  y x  x0 
Производная данной функции:
dy yt 3  3t 2 3  1  t 2 
 
 

dx xt
2  2t
2  1t 
► В точке t 0  1 производная функции не определена, хотя сама функция в этой точке существует. Слева и
справа от этой точки функция y  x  убывает:
t yx 10 1 10  н.с.  2  (max) (н.с. - не существует;  - интервал возрастания,  - интервал убывания)
y  x  - точка t  1 - точка острого максимума. Касательная и нормаль к графику функции в данной точке не
определены.
► В точке t 1  2 :
yx  t  2  
3  1 22  9


2  1 2  2
x t  2  2  2  2 2  0
y  t  2   3  2  2 3  2
y   2  
y
9
 x  0
2
9
x  2 - уравнение касательной.
2
2 2
y   2      x  0 
9
2
y   x  2 - уравнение нормали.
9
Иллюстрация к задаче:
3