Ïðàêòèêóì ïî òåìå 6 "Ïðåäåëüíûå òåîðåìû"

Ïðàêòèêóì ïî òåìå 6 "Ïðåäåëüíûå òåîðåìû"
Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïî âûïîëíåíèþ ïðàêòèêóìà
Öåëüþ ïðàêòèêóìà ÿâëÿåòñÿ áîëåå ãëóáîêîå óñâîåíèå ìàòåðèàëà êîíòåíòà
òåìû 6, à òàêæå ðàçâèòèå ñëåäóþùèõ íàâûêîâ:
• îöåíêà âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â íåêîòîðûé èíòåðâàë ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ Ìàðêîâà è ×åáûøåâà;
• ïðîâåðêà óñëîâèé ïîä÷èíåíèÿ ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàêîíó
áîëüøèõ ÷èñåë;
• èñïîëüçîâàíèå öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ ïîäñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé.
Ïåðåä ðåøåíèåì çàäàíèé ïðàêòèêóìà ðåêîìåíäóåòñÿ âíèìàòåëüíî èçó÷èòü ìàòåðèàë êîíòåíòà òåìû 6 è ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíûé àíàëèç âñåõ
ðàçîáðàííûõ ïðèìåðîâ.
Ðåøåíèå òèïîâûõ çàäà÷
ÒÇ 6.1. Èçìåðÿåòñÿ ñêîðîñòü âåòðà â äàííîì íàñåëåííîì ïóíêòå. Ñëó-
÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè âåêòîðà íà ôèêñèðîâàííîå íàïðàâëåíèå. Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A = {ξ ≥ 80 êì/÷} ïðè òàêîé
èñõîäíîé èíôîðìàöèè:
a) ïóòåì ìíîãîëåòíèõ èçìåðåíèé óñòàíîâëåíî, ÷òî M ξ = 16 êì/÷;
á) ïðîâåäåíû äîïîëíèòåëüíûå èçìåðåíèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ óñòàíîâ-
ëåíî, ÷òî σξ = 4 êì/÷, è, êðîìå òîãî, èçâåñòíî, ÷òî çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M ξ .
Ðåøåíèå:
à) Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è èñïîëüçóåì íåðàâåíñòâî Ìàðêîâà (ôîðìóëà
(6.2.1) êîíòåíòà òåìû 6)
P (A) = P {ξ ≥ 80êì/÷} ≤
Mξ
16 1
=
= = 0, 2,
80
80 5
òî åñòü P (A) ≤ 0, 2.
1
á) Òàê êàê ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî M ξ ,
P {ξ ≥ 80} = P {ξ ≤ −48} = p.
M ξ − 64 êì/÷
M ξ + 64 êì/÷
AAAAAAAAAAAAAAAAAA q
q
−48 êì/÷
¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢
q
-
16 êì/÷
80 êì/÷
Òîãäà
P {ξ ≥ 80} + P {ξ ≤ −48} = P {|ξ − 16| ≥ 64} = 2p.
Âåðîÿòíîñòü P {|ξ − 16| ≥ 64} îöåíèì ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà (ôîðìóëà (6.2.2) êîíòåíòà òåìû 6).
Dξ
16
= 0, 0039.
=
642
4096
Òàêèì îáðàçîì, 2p ≥ 0, 0039. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü
p ≤ 0, 00195.
P {|ξ − 16| ≥ 64} ≤
ÒÇ 6.2. Ñêëàäûâàåòñÿ 103 ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ îêðóãëåíî ñ òî÷íî-
ñòüþ 10−3 . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îøèáêè îêðóãëåíèÿ íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû â èíòåðâàëå (−0, 5 · 10−3 ; 0, 5 · 10−3 ), íàéäèòå èíòåðâàë,
ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, â êîòîðîì ñ âåðîÿòíîñòüþ 0, 998 çàêëþ÷åíà ñóììàðíàÿ îøèáêà.
Ðåøåíèå: Îáîçíà÷èì ξ1 , ξ2 , . . . , ξ103 îøèáêè îêðóãëåíèÿ êàæäîãî ñëàãàåìîãî. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è îíè ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûìè íà èíòåðâàëå (−0, 5 · 10−3 ; 0, 5 · 10−3 ) ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.
10−6
, k = 1, 103 . Òîãäà ïî òåîðåìå Ëåâè (òåî12
3
ðåìà 6.4.1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ξk }10
k=1 ïîä÷èíÿåòñÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå, à ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû τ ñòðåìèòñÿ
ê íîðìàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ




3
3
10
10
−6
X
X
10−3
3 10




=
.
Mτ = M
ξk = 0; Dτ = D
ξk = 10 ·
12
12
Çàìåòèì, ÷òî M ξk = 0, Dξk =
k=1
k=1
Íàéäåì öåíòðèðîâàííóþ è íîðìèðîâàííóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó
√
τ − Mτ
τ
0
τ= √
=q
= τ 20 30.
10−3
Dτ
12
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî F 0 ≈ Φ0 (x). Ïî ôîðìóëå (6.3.3) ïîëó÷èì
τ
0
P {−α < τ < α} = 2Φ0 (α).
2
Òðåáóåòñÿ íàéòè α, ïðè êîòîðîì ýòà âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0, 998, òî åñòü
2Φ0 (α) = 0, 998 ⇔ Φ0 (α) = 0, 499.
Äàëåå ïî òàáë. 2 êîíòåíòà 12 íàéäåì α. Èç òàáëèöû α = 3, 1. Òîãäà ìîæíî
0
óòâåðæäàòü, ÷òî P {−3, 1 < τ < 3, 1} = 0, 998.
Îñòàëîñü ïåðåéòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå τ :
√
0
P {−3, 1 < τ < 3, 1} = P {−3, 1 < τ 20 30 < 3, 1} =
¾
½
3, 1
3, 1
= P {−0, 0283 < τ < 0, 0283} = 0, 998.
=P − √ <τ < √
20 30
20 30
Òàêèì îáðàçîì, ñóììàðíàÿ îøèáêà îêðóãëåíèÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé
0, 998, íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (−0, 0283; 0, 0283).
ÒÇ 6.3. Äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . ., îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ è çàäàííûõ ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ
xi 0 1 2 3
pi 14 14 14 14
Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë?
Ðåøåíèå: Òàê êàê âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ðàñïðåäåëåíû îäèíàêîâî,
äëÿ îòâåòà íà âîïðîñ çàäà÷è äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå óñëîâèé
òåîðåìû Õèí÷èíà (òåîðåìà 6.3.2).
M ξk = 0 ·
1
1
1
1 6
+ 1 + 2 · + 3 · = = 1, 5.
4
4
4
4 4
Ïîñêîëüêó ó êàæäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñóùåñòâóåò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë.
Çàäàíèÿ ïðàêòèêóìà
6.1. ×èñëî ñîëíå÷íûõ äíåé â ãîäó â ãîðîäå N â ñðåäíåì ñîñòàâëÿåò 60
äíåé. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òå÷åíèå ãîäà â ãîðîäå N áóäåò
íå áîëåå 80 ñîëíå÷íûõ äíåé.
6.2. Ñðåäíåå ïîòðåáëåíèå ýíåðãèè â ÿíâàðå ìåñÿöå â îäíîì èç ïîñåëêîâ
Ëåíèíãðàäñêîé îáëàñòè ñîñòàâëÿåò 40 000 êÂò/÷ ïðè ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì îòêëîíåíèè 5 000 êÂò/÷. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ïîòðåáëåíèå ýëåêòðîýíåðãèè â ÿíâàðå òåêóùåãî ãîäà îêàæåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 30 000 äî 50 000 êÂò/÷.
3
6.3. Äâà ñòðåëêà ïðîèçâîäÿò ïî 20 íåçàâèñèìûõ âûñòðåëîâ ïî ìèøåíè. Âå-
ðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ äëÿ êàæäîãî èç ñòðåëêîâ ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî,
0, 9 è 0, 8. Äëÿ îáùåãî ÷èñëà ïîïàäàíèé ξ íàéäèòå ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå
ìåíüøåé 0, 95, èíòåðâàë ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî M ξ .
6.4. Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ íåêîòîðîãî ñîáûòèÿ A â êàæäîì èñïûòàíèè
3
. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî èñïûòàíèé n, êîòîðûå íóæíî
4
ïðîâåñòè, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå ìåíüøåé 0, 8, ÷àñòîòà ñîáûòèÿ A
îòëè÷àëàñü îò åãî âåðîÿòíîñòè íå áîëåå ÷åì íà 0, 03.
ðàâíà
6.5. Ñðåäíåå êîëè÷åñòâî îñàäêîâ, âûïàäàþùèõ â ãîä íà òåððèòîðèè íåêî-
òîðîé ìåñòíîñòè, ðàâíî 40 ñì. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîëè÷åñòâî îñàäêîâ íà äàííîé òåððèòîðèè ïðåâûñèò 110 ñì.
6.6. Ñðåäíåå çíà÷åíèå äëèíû äåòàëè ðàâíî 50 ñì, à ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå 0, 2 ñì. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàóãàä âçÿòàÿ
äåòàëü áóäåò èìåòü äëèíó â ïðåäåëàõ îò 49, 9 äî 50, 1 ñì.
 çàäà÷àõ 6.7 6.9 äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . .. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ
çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è (èëè) öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà.
6.7. ξn , n = 1, +∞ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,
èìåþùèå ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì p = 0, 2.
6.8. ξn , n = 1, +∞ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,
èìåþùèå ðàñïðåäåëåíèå Êîøè ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé
fξn (x) =
1
,
π(1 + x2 )
x ∈ R.
6.9. ξn , n = 1, +∞ çàäàíà ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ
xni −n
0
1
pni 4n2 1 − 2n1 2
n
1
4n2
6.10. Äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . ., n =
1, +∞, ðàñïðåäåëåííûõ ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè αn =
1
ñîîòâåòñòâåííî. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ íåå âûïîëíÿåòñÿ
n
çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë.
4
6.11. Ïóñòü ξn , n = 1; 2400 íåçàâèñèìûå, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, çàäàíû ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ
xi 0 1 2
pi 13 13 13
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà τ =
2400
P
n=1
ξn . Íàéäèòå P {|τ − M τ | < 100}.
6.12. Ìàðøðóò äâèæåíèÿ àâòîáóñà ðàçáèò íà 24 ó÷àñòêà, äëèíà êîòîðûõ
îïðåäåëÿåòñÿ ïî êàðòå ñ òî÷íîñòüþ 0, 1 êì. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèÿ äëèíû ó÷àñòêà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îøèáêà îïðåäåëåíèÿ äëèíû ìàðøðóòà ïî
àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâûñèò 0, 2 êì.
6.13. Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , . . . îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû è çàäàíû ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé:
½
fξn (x) =
cx2 , x ∈ [−1; 1]
, n = 1, +∞.
0, x ∈
/ [−1; 1]
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû τn îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè: τn = 5ξn − 1,
n = 1, +∞. Íàéäèòå ïàðàìåòð c è àñèìïòîòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû η =
100
P
τk
m=1
6.14. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû {ξn }∞
n=1 íåçàâèñèìû è ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà îòðåçêå [−2; 2]. Âûïîëíÿåòñÿ ëè äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è (èëè) öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà?
6.15. Ïóñòü ξ1 , . . . , ξ100 íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ
xi −2 −1 0 1
1
1
3 1
pi 16
4
8 4
Ïóñòü τ =
100
P
n=1
2
1
16
ξn . Íàéäèòå ÷èñëî x, çíàÿ, ÷òî P {τ < x} = 0, 977.
6.16. Âðåìÿ èçãîòîâëåíèÿ áàíêíîòû åñòü âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ ïî ïî-
êàçàòåëüíîìó çàêîíó. Åå ñðåäíåå çíà÷åíèå ðàâíî 4 ìèí. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà èçãîòîâëåíèå 100 áàíêíîò ïîíàäîáèòñÿ îò 6, 5 äî
7 ÷àñîâ, åñëè âðåìÿ èçãîòîâëåíèÿ áàíêíîò íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû.
5
 çàäà÷àõ 6.17 6.19 âåëè÷èíà ξ èìååò õàðàêòåðèñòèêè M ξ = 1, σξ = 0, 2.
Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A.
6.17. A = {0, 5 < ξ < 1, 5}.
6.18. A = {0, 75 < ξ < 1, 35}.
6.19. A = {ξ < 2}.
6.20. Ñðåäíåå ÷èñëî âûçîâîâ íà ÀÒÑ çà 1 ìèíóòó ðàâíî 20 è ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Ïóàññîíà. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A = {ξ > 20}.
6.21. Îöåíèòå ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè
ïîäáðàñûâàíèè 12 èãðàëüíûõ êîñòåé ñóììà î÷êîâ (ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ) îòêëîíèòñÿ îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìåíüøå ÷åì íà 15.
6.22. Íà îòðåçêå [0; 1] ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáðàíî 100 ÷èñåë, òî÷íåå ðàñ-
ñìàòðèâàþòñÿ 100 íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ1 , ξ2 , . . . , ξ100 , ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [0; 1]. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî èõ ñóììà çàêëþ÷åíà ìåæäó 51 è 60, òî åñòü P {51 <
100
P
i=1
ξi < 60}.
6.23. Êîëè÷åñòâî êîðìîâ, ðàñõîäóåìûõ íà ôåðìå êðóïíîãî ðîãàòîãî ñêîòà
â ñóòêè, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
êîòîðîé ðàâíî 6 ò. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â áëèæàéøèå ñóòêè
ðàñõîä êîðìîâ íà ôåðìå ïðåâûñèò 10 ò.
6.24. Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà, îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç
5000 âûïóñêíèêîâ óíèâåðñèòåòà ðàáîòàòü ïî ñïåöèàëüíîñòè áóäóò îò
3750 äî 4250 âûïóñêíèêîâ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî â ñðåäíåì 4000 âûïóñêíèêîâ âûáèðàþò ðàáîòó ïî ñïåöèàëüíîñòè.
6.25. Âåðîÿòíîñòü âûçðåâàíèÿ ñåìÿí îâîùíîé êóëüòóðû â äàííîé ìåñòíî-
ñòè ñîñòàâëÿåò 0, 8. Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç 1000 ðàñòåíèé ÷èñëî ðàñòåíèé ñ âûçðåâøèìè
ñåìåíàìè ñîñòàâëÿåò îò 750 äî 850.
6.26. Â òàêñîïàðêå èìååòñÿ 100 àâòîìîáèëåé. Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðà-
áîòû êàæäîãî èç íèõ â òå÷åíèå îïðåäåëåííîãî ïåðèîäà ñîñòàâëÿåò 0, 9.
Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå ÷èñëà áåçîòêàçíî ðàáîòàâøèõ àâòîìîáèëåé çà îïðåäåëåííûé
ïåðèîä îò åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íå ïðåâçîéäåò ïî ìîäóëþ 5.
6
6.27. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ
xi 2
3
6
9
pi 0, 1 0, 4 0, 3 0, 2
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà, îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
|ξ − M ξ| > 3. Íàéäèòå ýòó âåðîÿòíîñòü. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñîñòàâëÿåò ïîãðåøíîñòü?
6.28. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ
xi −1 0
1
3
5
pi 0, 1 0, 2 0, 4 0, 2 0, 3.
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà, îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
|ξ − M ξ| > 2, 5. Íàéäèòå ýòó âåðîÿòíîñòü. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñîñòàâëÿåò ïîãðåøíîñòü?
 çàäà÷àõ 6.29 6.30 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé:




0,
x ≤ a,
2
(x − a)
F (x) =
, a < x ≤ 2a,
2

a


1,
x > 2a,
a > 0.
Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà, îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
a
|ξ − M ξ| < . Íàéäèòå ýòó âåðîÿòíîñòü. Ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñîñòàâëÿåò
2
ïîãðåøíîñòü?
6.29. a = 1.
6.30. a = 2.
7