Производная показательной функции

Производная показательной функции
Теорема: Показательная функция 𝑎 𝑥 дифференцируема в каждой точке
области определения и (𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 ln 𝑎.
′
Доказательство: (𝑎 𝑥 )′ = (𝑒 𝑥 ln 𝑎 ) = 𝑒 𝑥 ln 𝑎 ln 𝑎 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎.
Теорема: Первообразной для функции 𝑎 𝑥 на R является функция
𝑎𝑥
1
ln 𝑎
′
𝑎𝑥
ln 𝑎
.
1
(𝑎 𝑥 )′ =
Доказательство: lna - постоянная, и поэтому ( ) =
ln 𝑎
ln 𝑎
𝑎 𝑥 ln 𝑎 = 𝑎 𝑥 .
Теорема: Функция 𝑒 𝑥 дифференцируема в каждой точке области
определении, и (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥 .
Доказательство: найдем приращение функции 𝑦 = 𝑒 𝑥 в точке х0:
∆𝑦
𝑒 𝑥0 (𝑒 ∆𝑥 −1)
∆𝑦 = 𝑒 𝑥0+∆𝑥 − 𝑒 𝑥0 𝑒 ∆𝑥 − 𝑒 𝑥0 = 𝑒 𝑥0 (𝑒 ∆𝑥 − 1).
=
= 𝑒 𝑥0 при
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥→0. По определению производной отсюда следует, что 𝑦′ = 𝑒 𝑥 , т.е. (𝑒 𝑥 )′ =
𝑒 𝑥 при любом х.
По основному логарифмическому тождеству для любого положительного
числа 𝑒 ln 𝑎 = 𝑎. Поэтому 𝑎 𝑥 может быть записано в виде 𝑎 𝑥 = (𝑒 ln 𝑎 )𝑥 = 𝑒 𝑥 ln 𝑎 .
Примеры решения задач
Пример 1. Найти производную функции 𝑦 = 𝑒 5𝑥 .
Решение. 𝑦 ′ = (𝑒 5𝑥 )′ = 𝑒 5𝑥 (5𝑥)′ = 5𝑒 5𝑥 .
Ответ: 5𝑒 5𝑥
Пример 2. Найти производную функции 𝑦 = 2𝑥 .
Решение. 𝑦′ = (2𝑥 )′ = 2𝑥 ln2.
Ответ: 2𝑥 ln 2
Пример 3. Найти производную функции 𝑦 = 5−3𝑥 .
Решение. 𝑦′ = (5−3𝑥 )′ = (−3)5−3𝑥 ln5.
Ответ: (−3)5−3𝑥 ln5
Пример 4. Найти первообразную для функции 𝑓(𝑥) = 5𝑥 .
Решение. 𝐹(𝑥) =
5𝑥
ln 5
+ 𝐶.
Ответ:
5𝑥
ln 5
+𝐶
Пример 5. Найти первообразную для функции 𝑓(𝑥) = 4 ∙ 2𝑥 .
Решение. 𝐹(𝑥) =
4∙2𝑥
ln 2
+ 𝐶.
Ответ:
4∙2𝑥
ln 2
+𝐶
Упражнения
1. Найти производную функции:
1) 𝑦 = 4𝑒 𝑥 + 5
2) 𝑦 = 5𝑒 −𝑥 − 𝑥 2
3) 𝑦 = 3𝑥 − 3𝑥 2
4) ) 𝑦 = 5𝑒 𝑥 + 5𝑥
5) 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑒 −𝑥
6) 𝑦 = 𝑒 𝑥 cos 𝑥
7) 𝑦 = 𝑥 2 𝑒 𝑥
8) 𝑦 = 𝑒 𝑥 sin 𝑥
10) 𝑦 = 3𝑒 𝑥 + 2𝑥
1
9) 𝑦 = 3 − 𝑒 𝑥
2
2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) в точке с абсциссой
х0 :
1) 𝑓(𝑥) = 𝑒 −𝑥 , 𝑥0 = 0
2) 𝑓(𝑥) = 2−𝑥 , 𝑥0 = 1
3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , 𝑥0 = 1
4) 𝑓(𝑥) = 2−𝑥 , 𝑥0 = −1
5) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 , 𝑥0 = 1
6) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 , 𝑥0 = 1
7) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑥0 = 1
8) 𝑓(𝑥) = 3−𝑥 , 𝑥0 = 0
9) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 , 𝑥0 = 0
10) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 , 𝑥0 = 0
3. Найдите производную функции:
2
1) 𝑦 = 𝑒 𝑥 sin
5) 𝑦 =
9) 𝑦 =
𝑥
2
𝑥6
4 𝑥 +5
2𝑥
3𝑥 +3
𝑥
𝑥
2) 𝑦 = 72 tg 3𝑥 3) 𝑦 = 𝑒 √ cos 2𝑥
6) 𝑦 =
𝑒 −𝑥
7) 𝑦 =
𝑥 2 +2
3𝑥
4) 𝑦 = 2−𝑥 ctg
8) 𝑦 =
2𝑥 +5𝑥
𝑥
3
0,3−𝑥
√𝑥+0,5
10) 𝑦 = 𝑒 −√𝑥
4. Найдите общий вид первообразной для функции:
1) 𝑓(𝑥) = 5𝑒 𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 2 ∙ 3𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 4𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 1
5) 𝑓(𝑥) = 𝑒 3−2𝑥
6) 𝑓(𝑥) = 𝑒 3𝑥 + 2,31+𝑥
7) 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 1
8) 𝑓(𝑥) = 2−10𝑥
9) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
1
2
1
4
10) 𝑓(𝑥) = 2 ∙ 0,9𝑥 − 5,6−𝑥
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1
2) 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 𝑒 −𝑥 , 𝑦 = 𝑒
3) 𝑦 = ( )𝑥 , 𝑦 = 1, 𝑥 = −2
4) 𝑦 = 3𝑥 , 𝑦 = 9𝑥 , 𝑥 = 1
5) 𝑦 = 2𝑥 , 𝑦 = 0, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2
6) 𝑦 = ( )𝑥 , 𝑦 = 4𝑥 , 𝑦 = 4
7) 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 𝑒 2𝑥 , 𝑥 = 1
8) 𝑦 = ( )𝑥 , 𝑦 = 2, 𝑥 = −1
1
2
1
2
1
2
1
9) 𝑦 = ( )𝑥 , 𝑦 = 3, 𝑥 = 1
3
10) 𝑦 = 3𝑥 , 𝑦 = 3, 𝑥 = 1