Производная Цель:

Производная
Цель: познакомить учащихся с понятием производной функции,
формулами производных функций y = x2 , y = x3 , y = kx+b.
I.
Изучение нового материала.
 Подготовительная работа.
1. Дана функция f(x) = x2
А). Вычислить: f(5), f(-3), f(0,5)
Б). Записать в виде многочлена: f(x-3), f(x+2), f(x-a), f(x+h).
2. Дана функция S(t) = 4t+1
А). Вычислить: S(2), S(4), S(5,5)
Б). Записать в виде многочлена разность: S(t+h) – S(t).
3. Точка, двигаясь вдоль прямой, проходит за время t от начала
движения путь S(t) = 3t+2. Найти S(10), S(20), S(50). Найти среднюю
скорость движения на отрезках времени: [10;20], [20;50], [10;50],
[t;t+h].
 Теоретическая часть.
Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движения
проходит путь S(t). Рассмотрим промежуток времени от t до t+h, где h –
малое число. За это время точка прошла путь S(t+h) – S(t).
Средняя скорость движения точки υср =
𝑆(𝑡+ℎ)− 𝑆(𝑡)
ℎ
При уменьшении h это отношение приближается к некоторому числу,
𝑆(𝑡+ℎ)− 𝑆(𝑡)
которое называется мгновенной скоростью υ = limh→0
.
ℎ
𝑆(𝑡+ℎ)− 𝑆(𝑡)
Отношение
можно рассматривать как приближенное
ℎ
значение мгновенной скорости υ(t).
Если h, уменьшаясь, стремится к нулю, то погрешность приближения
становится сколь угодно малой, т.е. также стремится к нулю.
Например, если S(t) = 3t2, то υср =
𝑆(𝑡+ℎ)− 𝑆(𝑡)
ℎ
= 6t + 3h.
 S(t+h) = 3(t+h)2
 S(t+h) – S(t) = 3(t+h)2 – 3t2 = 3(t2 + 2th + h2) – 3t2 = 6th + 3h2.

𝑆(𝑡+ℎ)− 𝑆(𝑡)
=
ℎ
6𝑡ℎ+3ℎ2
ℎ
= 6t + 3h.
Если h → 0, то 6t + 3h → 6t, т.е. υср→ υ(t) = 6t.
Алгоритм нахождения мгновенной скорости:
S(t) =
𝑎𝑡 2
2
 S(t+h) =
𝑎(𝑡+ℎ)2
2
 S(t+h) – S(t) =

𝑆(𝑡+ℎ)− 𝑆(𝑡)
ℎ
=
 υ(t) = limh→0
𝑎(𝑡+ℎ)2
2
𝑎ℎ(2𝑡+ℎ)
=
2ℎ
𝑆(𝑡+ℎ)− 𝑆(𝑡)
ℎ
𝑎𝑡 2
=
𝑎𝑡 2 + 2𝑎𝑡ℎ + 𝑎ℎ2 − 𝑎𝑡 2
2
𝑎ℎ2𝑡+𝑎ℎ2
2ℎ
2
= at +
= limh→0(𝑎𝑡 +
=
2𝑎𝑡ℎ + 𝑎ℎ2
2
=
𝑎ℎ(2𝑡+ℎ)
2
𝑎ℎ
2
𝑎ℎ
2
) = at.
𝑆(𝑡+ℎ)− 𝑆(𝑡)
Отношение
называется разностным отношением, а его предел при
ℎ
h→ 0 называется производной функции S(t) и обозначается S'(t).
S'(t) = limh→0
𝑆(𝑡+ℎ)− 𝑆(𝑡)
ℎ
.
Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, x – точка этого
промежутка и число h ≠ 0 такое, что x+h также принадлежит данному
промежутку.
𝑓(𝑥+ℎ)− 𝑓(𝑥)
Тогда предел разностного отношения
при h→ 0 называется
ℎ
производной функции f(x) в точке x и обозначается f '(x)
f '(x) = limh→0
𝑓(𝑥+ℎ)− 𝑓(𝑥)
ℎ
.
Число h, где h ≠ 0, может быть как положительное, так и отрицательное, при
этом число x+h должно принадлежать промежутку, на котором определена
функция f(x).
Если функция f(x) имеет производную в точке x, то эта функция называется
дифференцируемой в этой точке.
Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого
промежутка, то говорят, что функция имеет производную на этом
промежутке.
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
II.
Практическая часть.
 Найти производную функции f(x) = 3x + 2, f(x) = 5x + 7, f(x) = kx + b
 Найти производную функции f(x) = x2 , f(x) = x3, f(x) = 3x2-5x,
f(x) = -3x2 + 2
III.
Домашнее задание.
IV.
Итог урока.
Как связаны между собой средняя и мгновенная скорость движения? Что
называют производной функции и как ее обозначают? Какая функция
называется дифференцируемой в точке?