Тема: Правила дифференцирования функции. Цель:

Тема: Правила дифференцирования. Производная степенной
функции.
Цель:
доказать их
Сформулировать
основные
правила
дифференцирования,
и показать учащимся находить производные функций с
помощью правил дифференцирования. Вывести производную степенной
функции.
План проведения урока:
1. Организационный момент (3 минуты).
2. Анализ проверочной работы, проверка домашнего задания. (10 минут).
3. Введение нового материала (27 минут) (учитель с учениками).
4. Подведение итогов урока (4 минуты).
5. Домашнее задание (1 минута).
Ход урока:
1. Организационный момент.
Добиться дисциплины в классе. Проверить готовность учеников к уроку,
мобилизовать внимание. Выдать тетради для тренажёров. Сообщить отметки
за проверочную работу.
2. Анализ проверочной работы, проверка домашнего задания.
После сообщения отметок, учитель подводит итог проведенной
проверочной работы, говорит с какими заданиями справились все(почти все)
учащиеся, какие были типичные ошибки, если были такие задания, с
которыми никто (почти все) не справились, то учитель разбирает его со всем
классом, а потом вызывает к доске ученика на аналогичное задание из
домашней работы.
Вопросы, возникшие в домашней работе, разбираются всем классом,
особенно второе задание.
Вопросы для повторения:
1) Что называется производной функции y = f(x) в точке x?
2) Как называется операция нахождение производной функции?
3. Введение нового материала.
Теорема 1. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна
сумме производных этих функций.
Доказательство (доказательство проводит учитель):
Есть функции u(x) и v(x);
и
.
Нужно доказать, что (u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x).
Пусть u(x) + v(x) = f(x).
Значит, (u(x)+v(x))' = u'(x)+v'(x). ЧТД
Замечание 1: Аналогично можно доказать, что (u(x)-v(x))'=u'(x)-v'(x).
Замечание 2: Можно доказать справедливость теоремы 1 для суммы
любого конечного числа дифференцируемых функций, т.е.
Задача 1: Найти производную функции f(x)=x2+x – 7.
Вычислить f (-1), f (0), f (3)
Решение
Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых
функций равна сумме произведений каждой функции на производную
другой.
Доказательство (доказательство проводит учитель):
Есть функции u(x) и v(x);
и
.
Нужно доказать, что
.
Пусть
Множители
и
не зависят от
производную, поэтому она непрерывна и
. Функция v(x) имеет
.
Имеем:
Мы доказали, что
.
Эта формула называется формулой Лейбница.
Замечание: Можно доказать, что производная произведения любого
конечного числа множителей равна сумме произведений производной
каждого из них на все остальные.
Следствие 1. (доказательство проводят ученики самостоятельно)
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
.
Доказательство:
По теореме 2 имеем:
Но
, поэтому
Следствие 2. Производная функции f(x)=xn, где
произведению показателя n на степень
равна
.
Доказательство (доказательство проводят ученики самостоятельно):
Но
,
,а число слагаемых равно числу множителей n,
поэтому имеем
.
Эта формула верна любого n.
Таким образом, производная степной функции:
Задача 2. Найти производную функции f(x)=x3(x-1)
Решение:
Учитель обращает внимание на то, что ранее мы искали производную,
используя только определение, теперь же, зная правила дифференцирования,
процесс отыскания производной стал гораздо проще.
Теорема 3. Производную частного двух дифференцируемых функций
можно найти по формуле:
, где
Доказательство (доказательство проводится совместно учителем и
учениками) :
Есть функции u(x) и v(x);
и
Нужно доказать, что
Пусть
.
.
Умножим обе части равенства на v(x) и найдем производную от обеих
частей равенства.
Получим
Но
или
.
. Тогда
или
Мы доказали, что
.
.
Задача 3: Найти производную функции
Решение:
;
Задача 4: Доказать, что
Решение:
Доказательство:
Задача 5: Доказать, что
(самостоятельно)
4. Подведение итогов урока.
Вопросы для самопроверки:
1) Верно ли, что:
а) если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке
дифференцируема и функция
, то в этой точке
?
б) если функция f(x)=v(x)+u(x) дифференцируема в точке
,то функции
u(x) и v(x) тоже дифференцируемы в этой точке.
2) Чему равна производная функции f(x) в точке
, если,
и функции u(x) и v(x) дифференцируемы в этой точке?
3)
Чему
равна
производная
функции
f(x)
в
точке
,
если
и функции u(x) и v(x) дифференцируемы в этой точке?
Отметить учащихся, активно работавших на уроке.
5. Домашнее задание.
1. Доказать, что (u(x)-v(x))'=u'(x)-v'(x),
2. Выучить правила дифференцирования с доказательствами,
3. Сделать работу над ошибками по тренажёру №1.