Личностно ориентированный подход в обучении математике

Личностно ориентированный подход в обучении математике
Сейчас много говорят об инновационных технологиях обучения.
Так что же это такое технология обучения? Я не беру на себя смелость учить
педагогов – практиков азам методики, но прежде чем делиться своим опытом
по заявленной теме, хотелось бы кое-что систематизировать…
Обучение под жестким или мягким давлением при твердой
дисциплине учащихся для всех одинаковое по содержанию и методике,
безоговорочное подчинение ученика учителю были характерны для учебных
заведений в течение многих столетий. Такой стиль отношений “учитель —
ученик” в последнее время получил название авторитарной педагогики.
Все известные технологии обучения можно разделить на четыре
группы в зависимости от положения учащихся в образовательном процессе:
информационные,
адаптированные,
развивающие
и
личностно
ориентированные. Все эти группы как бы перетекают одна в другую,
становясь все более демократичными. Я думаю, нет ни одного
преподавателя, который использует только одну технологию в чистом виде.
Применение того или иного вида взаимодействия преподавателя и студента
зависит от многих факторов: тема, цели, задачи, состав группы и даже
самочувствие и настроение…
В информационных технологиях учащиеся – объекты обучения (не
путать с информационными технологиями, обеспечивающими доступность
информации), объекты «вложения» информации. В адаптивных технологиях
учащиеся – объекты обучения, но они различны и обучение адаптируется к
ним (это технологии модульного, разноуровневого, коллективного
взаимообучения. В развивающих технологиях учащиеся – субъекты
обучения, деятели в постижении знаний (это технологии использования
проблемных учебных задач, технология, построенная на системе
Л.В.Занкова) В личностно ориентированных технологиях учащиеся –
субъекты обучения и собственного развития.
Существенным условием реализации развивающих и личностно
ориентированных технологий является организация диалога, выводящего
учащегося на ведущие позиции в обучении. Для того, чтобы ученик стал
субъектом собственного развития, необходимо сформировать у него
открытую познавательную позицию.
Свою работу в этом направлении я начала с формирования базы
заданий разного уровня сложности. Это достаточно трудоемкий и
непрекращающийся процесс, так как граница уровня сложности весьма
условна и различается от группы к группе. Но сам принцип предложения
студентам разноуровневых заданий работает безотказно. Даже самый слабый
студент может выбрать себе задание по силам и почувствовать
удовлетворение от самостоятельно выполненной, а не списанной работы.
Переходя же к личностно ориентированному обучению, стоит
остановиться на нескольких его составляющих.
Урок является личностно ориентированным, если на нем учащиеся
являются субъектами обучения и собственного развития, и учитываются их
индивидуальные особенности. Личностно ориентированное содержание
характеризуется особенностями трех его составляющих: предметного
содержания, технологического содержания, индивидуального содержания.
Предметное содержание должно быть мотивированно, в нем установлены
связи, как с прошлым опытом учащихся, так и внутри изучаемой темы.
Технологическое содержание должно обеспечивать успешность учащихся в
овладении предметным содержанием, поэтому в нем предусмотрены общие
подходы к решению учебных проблем, учитываются возможные трудности
учащихся и пути их преодоления. Организация отдельных этапов
предусматривает использование различных приемов работы с учебным
содержанием (отложенной помощи, затребованной помощи, персонального
консультанта, общих подходов к решению проблем, использования личного
опыта, рассуждений вслух, выбора формы работы, осознания собственных
проблем, обобщения работы групп, постановки личных целей, подведения
итогов глаголами, письменных итогов, вертушки, предвосхищения проблем,
личных заметок, отложенного обращения к образцу, анализа собственных
черновиков, индивидуальных вопросов для обсуждения и др.)
При введении определений «старые» знания учащихся приводят к
«рождению» новых объектов, анализ этих объектов на предмет наличия
существенных свойств, позволяющих отличать образовавшиеся объекты от
ранее известных, приводит к термину понятия и к его определению.
Анализ процессов введения различных определений курса математики
позволяет выделить три ситуации:
1) у учащихся имеется опыт, на который можно опереться, значит, этот
опыт должен быть актуализирован;
2) у учащихся имеется опыт, но он противоречит новому, значит,
требуется перестройка имеющегося опыта;
3) требуется формирование принципиально нового опыта, т.к. нет
«зацепок» в имеющемся опыте учащихся.
Пути учета и обогащения субъектного опыта учащихся можно отразить
следующим перечнем:
1) использование одного и того же плана работы с различными
понятиями;
2) конструирование знакомых и новых объектов по единому принципу;
3) использование аналогий между известными и новыми понятиями;
4) привлечение интуиции и здравого смысла;
5) перенос успешного опыта учащихся в новую ситуацию;
6) анализ объектов на предмет поиска единого свойства;
7) тщательная работа с каждым словом определения с помощью
специальных упражнений, позволяющих сформировать новый опыт
учащихся;
8) сопоставление нескольких возможных ситуаций;
9) обращение к известным терминам и поиск аналогий в повседневной
жизни.
Так при введении понятий функции двух независимых переменных
используются представления учащихся о пределе, непрерывности,
производной и экстремуме функции одной независимой переменной и
проводятся явные аналогии, позволяющие облегчить студентам восприятие
достаточно сложных, абстрактных понятий. Работу над конструированием
новых определений можно продемонстрировать таблицей:
Основные
понятия
Функция одной
переменной
Функция двух переменных
Определение
Пусть множество X состоит из
элементов x, а множество Y
состоит из элементов y, тогда
будем говорить, что на
множестве X задана функция
y = f(x) со значениями из
множества Y, если нам дано
правило
или
закон,
по
которому каждому элементы х
из множества X ставится в
соответствии
единственный
элемент y из множества Y.
Областью определения
функции f (x) называется
значений х, при которых
функция f (x) существует
Пределом функции f (x) при x
→ a называют число А, такое,
что для любого сколь угодно
малого  > 0 найдется
положительное число δ > 0,
такое, что как только х
попадает в эпсилонокрестность числа а (Oδ (а)),
так сразу f (x) попадает в O
(А), т.е.:
Если каждой паре независимых
друг от друга чисел (х, у) из
некоторого множества по какому либо
правилу
ставится
в
соответствие одно или несколько
значений
переменной
z,
то
переменная z называется функцией
двух переменных.
z = f(x, y)
Область
определения
Предел
Областью определения функции z
называется совокупность пар (х, у),
при которых функция z существует.
Число А называется пределом
функции f(x, y) при стремлении
точки М(х, у) к точке М0(х0, у0),
если для каждого числа  > 0
найдется такое число r >0, что для
любой точки М(х, у), для которых
верно условие MM 0  r также
верно и условие f ( x, y)  A   .
Записывают: lim f ( x, y )  A
im f ( x)  A;   0    0 : x  O (a)  f ( x)  O ( A)
x a
Непрерывность
Функция f (x) называется
непрерывной в точке а, если
предел функции в этой точке
равен значению функции в
этой же точке, т.е.:
im f ( x)  f (a )
xa
Производная
x  x0
y  y0
Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит
области определения функции f(x,
y). Тогда функция z = f(x, y)
называется непрерывной в точке
М0(х0,
у0),
если
lim f ( x, y )  f ( x0 , y 0 )
x  x0
y  y0
причем точка М(х, у) стремится к
точке М0(х0, у0) произвольным
образом.
Производной функции f(x) в Пусть в некоторой области задана
точке х = х0 называется предел
отношения
приращения
функции в этой точке к
приращению аргумента, если
он существует.
f ( x  x)  f ( x)
f ( x)  lim
x 0
x
Дифференциал
функция z = f(x, y). Возьмем
произвольную точку М (х, у) и
зададим
приращение
х
к
переменной х. Тогда величина xz =
f( x + x, y) – f(x, y) называется
частным приращением функции
по х.
 x z f ( x  x, y)  f ( x, y)
.

x
x
 z
Тогда lim x называется частной
x 0 x
производной функции z = f(x, y) по
х.
Обозначение:
z
f ( x, y )
; z x ;
; f x ( x, y ).
x
x
Дифференциалом
функции Полным
дифференциалом
f(x) в точке х называется функции z = f(x, y) называется
главня
линейная
часть главная линейная относительно х
приращения функции.
и у приращения функции z в
dy = f(x)dx.
точке (х, у).
dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy
Производные и
диффернциалы
высших
порядков
d n y d  d n1 y 

 
dx n dx  dx n1 
Экстремум
Теорема. Если f(x1) = 0, то
функция f(x) в точке х = х1
имеет максимум, если f(x1)<0
и минимум, если f(x1)>0. (2-е
достаточное
условие
экстремума)
2z
 f xx ( x, y );
x 2
2z
 f yy ( x, y );
y 2
2z
 f xy ( x, y);
xy
2 z
 f yx ( x, y);
yx
Теорема. Пусть в окрестности
критической
точки
(х0,
у0)
функция
f x ( x0 , y 0 )  0, f y ( x0 , y 0 )  0 ,f(x, y)
имеет
непрерывные
частные
производные до второго порядка
включительно.
Рассмотрим
выражение:
2
D( x, y)  f x2 ( x, y)  f y2 ( x, y)  f xy ( x, y)

1)Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0,
у0) функция f(x, y) имеет
экстремум, если
f x2 ( x0 , y 0 )  0 - максимум, если
f x2 ( x0 , y 0 )  0 - минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0,
у0) функция f(x, y) не имеет
экстремума
В случае, если D = 0, вывод о
наличии экстремума сделать нельзя.

На этапе выработки умений и навыков очень эффективен «прием
затребованной помощи». Он предназначен для преодоления учащимися
затруднений на этапах: анализа условия задания, поиска способа его
выполнения, составления плана решения, оформления решения.
По запросу учащегося учитель предоставляет ему в письменном виде
рекомендации для осуществления соответствующего этапа деятельности, а
затем карточку для самопроверки выполнения данных ему рекомендаций.
Учащимся сообщается, что по предложенному заданию можно запросить
помощь:
1) по теоретическому обоснованию задачи;
2) по проведению (проверке) анализа условия задачи;
3) по проведению (проверке) поиска решения задачи;
4) по проверке плана решения;
5) по проверке решения.
В соответствии с запросом будет дана карточка, на левой стороне
которой представлены рекомендации, а на правой материалы для
самопроверки или иной вариант решения.
Пример. Исследовать на наличие экстремума функцию двух переменных
z  x 3  y 3  6 xy
Проанализируем условие задачи
Результаты анализа
1. От чего зависит наличие
1. От наличия критических точек, в
экстремума функции двух
которых частные производные первого
переменных?
порядка равны 0
f x ( x0 , y 0 )  0,
2. Существуют ли такие точки для
данной функции?
3. Что необходимо сделать для их
нахождения?
4. Какие формулы и правила при
этом используются?
5. Имеется ли алгоритм
исследования?
f y ( x0 , y 0 )  0
2. Определяется для каждого
конкретного случая
3. Необходимо, найдя частные
производные первого порядка,
приравнять их к 0 и решить полученную
систему уравнений
4. Формулы и правила
дифференцирования с учетом правил
дифференцирования функций двух
переменных
5. Алгоритм определяется теоремой:
Пусть в окрестности критической точки
(х0,у0)
функция f x ( x0 , y 0 )  0, f y ( x0 , y 0 )  0 ,f(x, y)
имеет
непрерывные
частные
производные до второго порядка
включительно. Рассмотрим выражение:
2
D( x, y)  f x ( x, y)  f y ( x, y)   f xy ( x, y) 1)Если
2
2
D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция
f(x, y) имеет экстремум, если
f x ( x0 , y 0 )  0
максимум,
если
f x ( x0 , y 0 )  0 - минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0)
функция f(x, y) не имеет экстремума
В случае, если D = 0, вывод о наличии
экстремума сделать нельзя.
6. Составьте план решения задачи. 1) Найти частные производные 1-го
порядка
2) Приравнять их к нулю и найти
критические точки
3) Найти частные производные 2-го
порядка
4)Определить значения
характеристических чисел, подставив
координаты критических точек
5) Для каждой точки найти значения
D(x0, y0) и сделать выводы о наличии
экстремума
7. Какие выводы можно сделать в Выводы о наличии и характере или
результате?
отсутствии экстремумов
8. Всегда ли вывод однозначен?
В случае, если D = 0, вывод о наличии
экстремума сделать нельзя
Хочется отметить, что в этом типе обучения заслуживают одобрения
такие его особенности, как уважение к личности ученика, внимание к его
внутреннему миру и его неповторимости
Между тем у личностно-ориентированного обучения есть и слабые
стороны. Личностно-ориентированное обучение во всем объеме и со всеми
нюансами сложно проводить в группах, в которых учится по 25-30
студентов. На должном уровне его можно реализовать в малой группе и на
индивидуальных занятиях. Следовательно, такой тип обучения надо сочетать
с другими, в том числе и традиционными.
В качестве принципиального основания инновационного развития
современного образования можно говорить об образовании как социальнокультурном и здоровьесберегающем ресурсе, обеспечивающем защиту
детства, сохранение и развитие генофонда нации.
Это не означает, что главная задача образования – качество образования
– отменяется или подменяется. Эта задача по-прежнему сохраняется в
качестве приоритетной, но приобретает новый статус и требует новых форм
взаимодействия образования, государства и общества. При ее решении
необходимо, в первую очередь, учитывать социальные, индивидуальные,
личностные, возрастные факторы жизни ребенка.
2
2