Тема: Экстремум функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения. Цель занятия: закрепление знаний полученных на лекциях и применение их на практике; научить исследовать функцию нескольких переменных на максимум и минимум с использованием производных высших порядков; вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции; решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции; развитие пространственного мышления, умение планировать, мыслить логически и по аналогии. Методы: словесные, по характеру познавательной деятельности – проблемные, по дидактической цели – познавательные. Ход занятия. 1. Организационная часть. Студенты записывают тему занятия. 2. Актуализация опорных знаний. В начале занятия проводится небольшая по времени (10-15 минут) фронтальная актуализировать базовые знания студента. 3. Работа по повторению: -критические точки; -стационарные точки; -экстремумы функции. работа, которая позволяет 4. Выполнение самостоятельной работы: 2. Основная часть. Изучение новой темы. Определение 1. Пусть функция z f ( x, y ) определена в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y 0 ) . Говорят, что z f ( x, y ) имеет в точке M 0 локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки M 0 ( x , y 0 ) , что для любой точки M ( x, y ) принадлежащей окрестности точки M 0 ( x , y 0 ) выполняется f ( x , y ) f ( x0 , y 0 ) f ( x , y ) f ( x0 , y 0 ) , причем для максимума f 0 , для минимума f 0 (рис. 1). Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума[1]. Рис. 1. Экстремум функции двух переменных Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке некоторой окрестности точки , то есть (соответственно ) для всех точек , принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее экстремумом. Точка , в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума. Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , . Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Достаточное условие существования экстремума: Пусть стационарная точка функции . Обозначим и составим дискриминант . Тогда: если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум, при (или ) и минимум, при (или ); если , то в точке экстремума нет; если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай). Рассмотрим пример решения задачи: , , Ответы на вопросы. Закрепление полученных знаний. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на оптимизацию. ПРИМЕР. Рекламный щит имеет форму прямоугольника S=9 м 2. Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ - 3х² - 45х + 1 на [-4; 6] без построения графика. Во время самостоятельной работы сильные студенты вызываются к доске и решают у доски наиболее сложные занятия из домашней работы. Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью. Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы? Печатный текст (вместе с промежутками между строками) одной страницы книги должен занимать 400 см². Верхние и нижние поля страницы должны иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см. Вопрос: каковы самые выгодные размеры страницы, исходя только из экономии бумаги? Следующим этапом изучения темы является подробное решение примера преподавателем. Это позволит студентам последующие примеры решать по аналогии с разобранным, попутно преодолевая трудности с помощью знаний, которыми они уже обладают. Пример. Исследовать на экстремум функцию z x 3 3xy2 15x 12 y . Решение Проверим выполнение необходимого условия существования экстремума функции. В результате чего получим стационарные точки. Находим частные производные и составляем систему уравнений z x' ( x, y ) 0, ' z y ( x, y ) 0; z 3x 2 3 y 2 15, x z 6 xy 12 ; y 4 y4 5y2 0 4 2 2 2 y 5 0 , , x y 5 0 , y2 x 2 y 2 5 0, y2 2 x ; 2 xy 2 0 ; x ; x 2 . y y y Решим отдельно уравнение 4 y4 5y2 0 . Дробь равна нулю, когда ее y2 числитель равен нулю, т.е. 4 y 4 5 y 2 0 . Пусть y 2 t , тогда исходное уравнение примет вид квадратного трехчлена t 2 5t 4 0 . Используя теорему, обратную теорему Виета, получаем корни уравнения t1 4, t 2 1. y11 2, y12 4, y 2 2 1, Таким образом получаем: 2 подставляя полученные значения в y13 2, y 2 1; y 2 4 1; систему получаем четыре стационарные точки: P1 (1,2); P2 (2,1); P3 (1,2); P4 (2,1). Используя теорему о достаточном условии существования экстремума функции двух переменных, составляем определитель J и находим точки максимума и минимума. Найдем производные второго порядка: A 2z 2z 6 x , B 6 y, xy x 2 J ( x0 , y 0 ) z xx'' ( x0 , y 0 ) z xy'' ( x0 , y 0 ) '' yx '' yy z ( x0 , y 0 ) z ( x0 , y 0 ) C 2z 6 x и составим определитель y 2 AC B 2 для каждой стационарной точки. 1) Для точки 2z P1 (1, 2) : A 2 6 1 6, x P1 2z 6 2 12, B xy P1 2z C 2 6 1 6, y P1 J AC B 2 36 144 0 Значит, в точке P1 экстремума нет. 2) P2 (2,1) : A z xx'' (2,1) 6 2 12, J AC B 2 144 36 108 0, '' B z xy (2, 1) 6 1 6, C z 'yy' (2, 1) 6 2 12; A z xx'' (2, 1) 12, 12 0 . В точке P2 , согласно достаточному условию существования экстремума, функция имеет x 2, минимум. Минимум этот равен значению функции y 1 : z min (2, 1) 8 6 30 12 28 . 3) P3 (1,2) : A z xx'' (1,2) 6, B z xy'' (1, 2) 12, J AC B 2 36 144 108, 108 0 . Экстремума в точке P3 (1, 2) нет. C z 'yy' (1,2) 6; при 4) P4 (2,1) : '' A z xx (2,1) 6 2 12, '' B z xy (2, 1) 6 1 6, C z 'yy' (2, 1) 6 2 12; J AC B 2 144 36 108 0, '' A z xx (2,1) 12 , 12 0 . В точке P4 функция имеет максимум: z max (2, 1) 8 6 30 12 28 . V этап: Выполнение самостоятельной работы. (Работы сдаются на проверку учителю) Найти наибольшее и наименьшее значения функции: I в. f ( x) 3x 2 2 x 3 1 на отрезке 1;4 . II в. f (x) = 9x + 3x2 – x3 на отрезке [– 2; 2]. По окончании выполнения самостоятельной работы студенты готовятся к ответам на следующие вопросы. 1. Определение экстремума функции двух переменных. 2. Необходимое условии экстремума. 3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. VI. Рефлексия. Определение домашнего задания.