Функция нескольких переменных.

Функция нескольких
переменных.
Основные понятия.
уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0, С ≠0.
A B
D
 x y
C C
C
переменных x и y ; x,y
, z-есть функция 2-х
D
Геометрическая плоскость.
Если в общем случае z = f(x,y)- определяет
уравнение поверхности. Каждой паре x и y (из
области D)- ставится в соответствии z.
P-поверхность есть крыша, построенная над
областью D
Закон, по которому каждой паре чисел x и y из
области D, ставиться в соответствии одно
значение z из E , называется функцией 2-х
переменных z = f(x,y).
D- область определения функции, Eобласть значений функции z = f(x,y)
D- область определения функции 2-х
переменных представляет собой некоторое
множество точек плоскости
Графиком функции f(x,y) называется
множество точек (x,y,f(x,y)) пространства,
т.е. поверхность.
Полное приращение функции z = f(x,y) в
точке M(x,y) определяется формулами:
 x z  f ( x  x, y)  f ( x, y)
 y z  f ( x, y  y )  f ( x, y )
Число A называется пределом функции z = f(x,y), при M(x,y)
стремящимся к точке M 0 ( x0 , y0 )
, если для всех ξ >0 существует такое δ >0, что при всех M,
расстояние которых до точкиM меньше f, т.е.
0
M M0
<f; выполняется неравенство
f (M )  A < ξ
Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке
M 0 ( x0 ,
, если выполняется условие
lim
.
x x0 , y  y0
f ( x, y)  f ( x0 , y0 )
y0 )
Частные производные функции нескольких переменных. Полные дифференци
Для функции z = f(x,y) частные производные в точке M(x,y) по x и по y
соответственно определяются формулами
z
f ( x  x, y )  f ( x, y )
/
/
 z x  f x ( x, y )  lim
x 0
x
x
z
f ( x, y  y )  f ( x, y )
/
/
 z y  f y ( x, y )  lim
y 0
x
y
При нахождении частных производных пользуются обычными
правилами дифференцирования.
Если полное приращение функции z = f(x,y) в точке M(x,y)
представлено в виде
z  Px  Qy 
ξ(
x  y )
2
2
, где P и Q постоянные в точке M(x,y), то выражение
Px  Qy
называется полным дифференциалом функции z = f(x,y) в этой точке
dz ;
и обозначается через
dz  Px  Qy
Теорема:
Функция, обладающая непрерывными частными производными,
имеет полный дифференциал, причем
dz  f ( x, y)dx  f ( x, y)dy
/
x
/
y
Функция, имеющая полный дифференциал, называется дифференцируем
Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям.
Формула для приближенных вычислений.
z  dz
z  dz  O ( x  y  )
2
2
f ( x  x; y  y)  f ( x, y)  f ( x, y)x  f ( x, y)y
/
x
/
y
Частные производные и
полный дифференциал высших порядков
z
( )
2
 z
//
//

x

 z x 2  f x 2 ( x, y )
2
x
x
z
( )
2
 z
y
//
//


z

f
( x, y )
2
y2
y2
y
y
Смешанные производные:
z
(
)
2
 z
x  z //  f //

xy
xy
xy
y
z
(
)
2
 z
y
//
//

 z yx  f yx
yx
x
Теорема:
Если функция z = f(x,y) и её смешанные производные определенны в
некоторой окрестности точки M(x,y) и непрерывны в этой точке, то
z
//
xy
z
//
yx
 z 2
 z
 z 2
d z  2 dx  2
dxdy  2 dy
xy
x
y
2
2
2
2
Понятие о производной функции по данному направлению.
z
Под производной
l
l
функции z в данном направлении
понимается предел отношения приращения функции в этом направлении
к величине перемещения
при условии , что
, т.е.
l
l  0
l z
z
 lim
l 0 l
l

z
Формула для вычисления
l
Для функции u = f(x, y, z) по аналогии получаем, что
z u
u
u
 cos   cos   cos 
l x
y
z
 ,  ,
- углы, образованные направлением
и осями координат.
l
, где
Градиент.
Градиентом функции z = f(x,y) называется вектор, координатами которого
служат значения частных производных этой функции, т.е.:
z
z
grad z  i 
j
x y
/
аналогично: если u = f(x, y, z), то:
u
u
u
gradu 
i
j
k
x
y
z
Теорема.
Вектор-градиент указывает на направление наискорейшего возрастания фун
Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то уравнением касательно
плоскости к поверхности в её точке
, где
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
z 0  f ( x0 , y 0 )
z
 : z  z0 
x
z
n(
x
служит уравнение
z
( x0 , y 0 ) ( x  x 0 ) 
y
z
( x0 , y0 ) ;
y
( x0 , y 0 )
( x0 , y0 )
;1)
( y  y0 )
-
нормаль плоскости
Если
n  s , где s
проходящий через точку
- направляющий вектор прямой,
M 0  касательной плоскости.
Такая прямая называется нормалью к поверхности в этой точке:
из геометрии получим уравнение нормали:
x  x0
y  y0
z  z0


z
z
1
( x0 , y0 )
( x0 , y 0 )
x
y
Экстремум функции нескольких переменных.
Точка
M 0 ( x0 , y0 ) называется точкой экстремума (максимума или
минимума) функции
z  f ( x, y )
, если
z 0  f ( x0 , y 0 )
есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции
z  f ( x, y )
Заметим, что
в некоторой окрестности точки
M 0 D( z )
M 0 ( x0 , y 0 )
(области определения)
Теорема.
M 0 ( x0 , y 0 )
Необходимый признак экстремума: Если точке
функция
z  f ( x, y )
имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны
нулю или не существуют.
Теорема.
z  f ( x, y )
Достаточное условие экстремума для функции
Пусть в точке
z
0
x
M 0 ( x0 , y 0 )
z
0
y
и
Вычислим
 z
2
x
 z
xy
2
2
( x0 , y0 )
A
 z
2
y
2
( x0 , y 0 )
C
( x0 , y0 )
B
1)Если
AC  B  0
2
, то в точке
M 0 ( x0 , y 0 )
экстремума нет
AC  B  0
2
2)Если
, то заключение о существовании экстремума сделать нельзя
3)Если
AC  B 2  0
в точке
M 0 ( x0 , y 0 )
, то экстремум функции z
есть и
A  0, C  0
A  0, C  0
.
или
 f ( x, y )
z max  f ( x0 , y0 )
z min  f ( x0 , y 0 )
, при
, при
Абсолютный экстремум
функции.
Теорема 1.
Функция, непрерывная в ограниченной
замкнутой области, достигает в этой
области своих наименьшего и
наибольшего значений.
Теорема 2.
Абсолютный экстремум функции в данной
области достигается либо в критической
точке функции, принадлежащей этой
области, либо в граничной точке области.
Условный экстремум.
Дано:
z  f ( x, y )
Задача: Найти на
f ( x, y )
l
и линия на плоскости:l
такую точку
:  ( x, y )  0
M 0 ( x0 , y 0 )
, в которой значение функции
наибольшим или наименьшим по сравнению со значениями этой функц
в точках линии
l
, находящихся вблизи точкиM 0
Такие точки называются точками условного экстремума функции
z 
l
f ( x, y )
на линии
Ясно, что точка обычного экстремума является и точкой условного
экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. (обратное может
и не быть)
Уравнение линии
l :  ( x, y )  0
называется уравнением связи.
1)Правило нахождения условного экстремума.
Если
y  t (x) , то
z  f ( x, t ( x))
- получаем функцию одной переменной. Находим
x0 ,
y 0  t ( x0 )  z 0  f ( x0 , y 0 )
2)Метод множителей Лагранжа.
 ( x, y )  0
Если уравнение связи :
, то составляем функцию
 ( x, y ,  )  f ( x, y )     ( x, y )
и координаты точки M
0
( x0 , y 0 )
 
 x  0

 
0

 y


 0).
 ( x, y )или (


Значение
находятся из условий

Решая систему, получим значения
 0 , ( x0 , y 0 )
Надо исследовать функцию
 ( x, y)  f ( x, y)  0   ( x, y)
, с помощью достаточного условия экстремума в точке
M 0 ( x0 , y 0 )