АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. (Методы исследования функций классического анализа).

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ.
(Методы исследования
функций классического анализа).
Аналитические
методы
являются
классическими
методами
отыскания
экстремального значения функции (min или
max). Они применяются, в основном, в тех
случаях, когда известен аналитический вид
оптимизируемой функции F от переменных xi
и число переменных xi невелико. При
большом числе переменных возникает, так
называемый
барьер
многомерности
и
применение
аналитических
методов
становится затруднительным.
Основные понятия.
Необходимые и достаточные условия
существования экстремума функции.
1.Экстремумы функций одной переменной.
Необходимым условием существования
экстремума непрерывной функции F(x) (при
отсутствии ограничений) является
равенство 0 производной
.
dF
dx
=0
Графически
это
означает,
что
касательная к кривой F(x) в этой точке
параллельна оси ox.
F(x)
M
Mox
m
x1
x2
Рис.1
min
x
Покажем случай, когда производные в точках
экстремума не существуют.
В точках min и max существует конечный
разрыв производной dF
dx
F(x)
M
max
m
min
x1
x2
x
Рис.2
Значение F’(x) в точках экстремума обращаются
в бесконечность.
F(x)
M
m
x1
x2
Рис.3
x
dF
Перечисленные условия : dx  0,
отсутствие
производной – необходимые условия. Но их выполнение не
означает, что в этой точке функция имеет экстремум
(рис.4).
Для того, чтобы определить, действительно ли в
точке существует экстремум необходимо провести
дополнительные исследования.
F(x)
F(x)
x1
x
Рис.4
x1
x
Например:
1. Сравнение значений функции.
Рассчитывают значение функции в точке
подозреваемой на экстремум и в двух близких от нее
точках слева и справа.
xi+  и xi- 
Если оба значения F(xi+) и F(xi-) меньше или больше
F(xi), то в точке xi max или min соответственно. Если
же F(xi) имеет промежуточное значение, то в точке
F(xi) нет экстремума.
2. Сравнение знаков производных.
Определяются знаки производных dF в точках (xi+)
dx
и (xi-).
Если знаки различны, то в точке xi – экстремум
(если знак меняется с (+) на (-), то в точке xi – max, если с
(-) на (+) – min). Если знаки совпадают в точках (xi+) и
(xi-), то точка xi не является экстремальной.
3. Исследование знаков высших производных.
Этот способ можно применять, если в
точках xi (подозреваемый на экстремум)
существуют производные высших порядков.
Если
d 2F
dx 2
d 2F
dx 2
, 0
0
то в точке xi– max
xi
, то в точке xi - min
xi
Чаще всего пользуются двумя первыми
способами, т.к. последний достаточно
громоздок.
2.Экстремумы функций многих переменных.
Решение задачи оптимизации усложняется, если
критерий оптимальности является функцией
нескольких независимых переменных.
Для непрерывной функции F=F(x1,x2,…xn), имеющей
непрерывные производные первого и второго
порядков по всем переменным xi(i=1,n), необходимым
условием экстремума в точке xi служит равенство 0
частных производных по всем переменным в этой
точке.
Т.е. точки, в которых может быть экстремум
функции, определяются решением системы
уравнений:
F  0
x
F ( x , x ,... xn)
1
1 2
 0, i 1,..., n, или
x
F  0
i
x
2
F  0
xn
Левые части уравнений – есть функции
факторов
x1,…xn.
Поэтому
решение
системы (1) дает оптимальное значение
факторов.
Если
оптимизируется
технологический
процесс,
то
этому
решению соответствует оптимальный
режим.
Рассмотрим
частные
задачи
оптимизации
ХТП
с
использованием
математических моделей
ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ
(оптимизация с использованием
математических моделей).
I.
Оптимизация РИС
В реакторе ИС протекает реакция:
A
K1
B
K2
Целевой продукт.
С
Определить оптимальное время пребывания реагентов в
реакторе, при котором достигается максимальный выход
целевого продукта B.
С
C
A
0
C
Bmax
СС
СВ
0
опт.


dC
1
A  C C   k C ;
A  1 A
dt   A
0


dC
B  1  C  C   k C  k C ;
B  1 A 2 B
dt   B
0




dC
1

C  C C   k C ;
  C
C  2 B
dt
0



СА
(1)
(2)
(3)
dCB
 0;
dt
C B  0;
0
 1 C B  k1C A  k 2C B  0;

k1C A   C B  k 2C B  ;
k1C A 
;
CB 
1  k2
CA ?
(1) приравниваем к нулю
C
C
A
0
A
0
C
C
A
 k C   0;
1 A



1  k  ;
A
1 
kC 
A
1 A
0
0
C 
;C 
;
A 1  k  B 1  k   1  k  
1
2 
1 

C
Для определения  оптимального для
выхода максимального значения концентрации
СВ,
необходимо
уравнение
продифференцировать по  и приравнять
производную к 0.
k C (1 k  ) 1  k    k C   k 1 k    k 1 k   
1 
2  1 A  1
2  2
1 
dF  1 A0
0
 0;
2
d



1

k

1

k


1  
2  

 опт. 
1
;
k k
1 2
1
kC 
1 A
0 k1  k2
F C

;


Bmax 
k
k


1
2 
1 
 1 

k  k  
k  k 

1 2 
1 2

II. Задача поиска оптимальной температуры обратимой
химической реакции.
Если химическая реакция протекает без побочных стадий,
то критерием оптимальности может быть скорость
реакции.
Затем установим ограничения и выберем оптимизирующие
факторы.
k
А
1
В
k2
Целевая функции имеет вид:
F W  k
01
E
1
 e RT  C
E
2
 k  e RT  C ;
B
A
02
Критерий оптимальности F зависит от трех
параметров T, CA и CB. Но СА и СВ не можем выбрать
в качестве оптимизирующих параметров, т.к. они
не являются входами (не являются независимыми)
системы, а являются результатами реакции.
Для увеличения скорости необходимо иметь как
можно больше СА и меньше СВ. Цель же процесса
противоположная – увеличить СВ и уменьшить СА.
Поэтому СА и СВ нельзя считать независимыми
факторами.
Следовательно, есть лишь один независимый
фактор, влияющий на F – температура. Поэтому
эта задача - об оптимальной температуре
химической реакции.
Однако, при различных CA и CB, влияние температуры
может быть различным.
Поэтому ставим задачу следующим образом: найти
оптимальную температуру при фиксированных CA и CB.
Т.е. CA и CB выступают как ограничения в виде равенств.
C
C
;

A
A/ t 0
0


C
C
B

B/ t 0
0

Второе ограничение типа неравенств (обязательное)
температура не может превысить некоторого
максимального значения Tmax.
TTmax;
Если реакция необратима, т.е. k2=0, то в уравнении
остается
первый
член,
который
с
ростом
температуры
растет
неограниченно.
Максимум
(уравнения 1) – отсутствует. Тогда оптимум
определяется ограничением:
Tопт.=Tmax;
E
E
1
2
W  k1,0  C A  e RT  k2,0  C B  e RT ;
dW  0;
dt
E
E
1 E
2 E
1
1
k1,0  C A  e RT 

 k2,0  C B  e RT  2  1  0;
R T2
R T2
T ?
E
E
1
2
k1,0  C A  e RT  E1  k2,0  C B  e RT  E2;
E
E E
2
1
2
E1k1,0  C A
RT
e

 e RT ;
E
E2k2,0  C B
1
e RT
ln( ") 
T 


k  ln


E1  E2
;
RT
E1  E2
E1  k1,0  C A
E2  k2,0  C B





;
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА.
Часто в задачах отыскания экстремума функций
(критерия
оптимальности)
на
независимые
переменные
накладываются
определенные
ограничения типа равенств. Это осложняет
применение
аналитических
методов
в
их
классической форме.
Для
решения
экстремальных
задач
с
ограничениями типа равенств используется метод
неопределенных множителей Лагранжа. Этот
метод сводит задачу с ограничениями к обычной
экстремальной задаче без ограничений.
Пусть требуется найти экстремум функции
F(x1,x2,…,xn)min
(1)
при этом на независимые переменные
накладываются ограничения типа равенств:
 ( x , x ,..., xn)  0; i  1,..., m; m  n;
i 1 2
(2)
m – число соотношений (ограничений) (2);
Если число m – условий (2) меньше числа
независимых переменных n, т.е. (x1,x2…xn), то для
решения экстремальной задачи может быть
использован следующий прием.
Из системы m – уравнений (2) можно выразить
m независимые переменные xi, как функции
остальных n-m переменных, т.е. представить
ограничения (2) в виде:
x  f ( x , x ,... xnm )
i i 1 2
(3)
Подставляя полученные выражения (3) в (1), получим
функцию F, которая будет зависеть уже только от n-m
переменных, не связанных дополнительными
условиями (ограничениями).
F( x, f(x))
(4)
Таким образом, мы устранили ограничивающее условие
(2) и уменьшили размерность исходной оптимальной
задачи.
Пример:
Допустим,

2
2
дана F ( x1, x2 )  5 x1  x1x2  3x2  10;


x  x 10  0; Уравнение

1 2
связи.
(ограничение)
Если есть уравнение связи, то можно выразить
зависимые и независимые переменные. Надо избавиться
от одной переменной и дифференцировать по другой.
x2=10-x1
F ( x )  5x 2  x (10  x )  3(10  x )2 10;
1
1
1
1
1
F  10 x  10  2 x  6(10  x )  0;
1
1
1
x
1
14 x  50;
1
x  50 ; x  ?
Найден оптимум
1 14
2
(6,43)
На практике часто бывает трудно, а иногда и
вообще невозможно аналитически решить систему
уравнений (2) относительно некоторых переменных,
т.е. представить ее в виде (3).
(трудность
в
определении
независимых
переменных из (x))
Особенно, если уравнение трансцендентное.
sin( xy)  xy  1
поэтому для решения задач отыскания
экстремума функций многих переменных (1) с
ограничениями на независимые переменные (2)
используют метод неопределенных
множителей Лагранжа. Т.е. искусственно вводят
вспомогательную функцию вида:
n
R( x , x ,... xn; ,  ,..., m )  F ( x ,... xn)     ( x ,... xn);
1 2
1 2
1
i1 i i 1
Все переменные считаем независимыми, а по
количеству уравнений связи (ограничений) вводим
новые переменные – множители Лагранжа.
Т.е. уравнение связи (2) (ограничения) теперь
входят
в
функцию
цели
со
своими
коэффициентами (весовые коэффициенты) .
i – это неопределенные множители Лагранжа.
В данном методе экстремальные
точки
функции
определяются
решением
системы
уравнений,
которые получают, приравнивая к
нулю производные функции R по всем
независимым переменным xi,i=1,…n и
по всем множителям Лагранжа i,
i=1,…m.
 R( x , x ,... x ,  ,  ,... )
n 1 2 m  0;

1 2

x

i


 R( x,... x ,  ,... )
n 1 m  0; i  1,...m;




i
Пример предыдущий:
L  5x 2  x x  3x 2 10   ( x  x 10);
1
1 2
2
1 2
 L
 10 x  x    0;

1 2

x

1


 L
 x  6 x    0;

1
2
 x
2


 L
   x1  x2  10  0;

10x1  10  x1     0;

 6(10  x1 )  x1    0;
9x  10    0;
1

5x  60    0
1
9x  5x  10  60
1
1
14x  50
1
x  50
1 14






