функции нескольких переменных.

III. Функции нескольких
переменных.
• Определение. Если каждой паре
действительных чисел (x; y) из области D
по определенному правилу ставится в
соответствие только одно число z из
области Е, то говорит, что на множестве D
задана функция двух переменных z = z(x,
y).
• Значение z(a; b) функции z = z (x, y) есть
значение этой функции, вычисленное при
x = a, y = b.
• Пример 1.
x y
z ( x, y )  3
2
x  5y
2
т. М(1; -1).
. Найти значение z в
1  (1)
2 1
z (1;1)  3
 
2
1  5(1)
6 3
2
• Пример 2. Найти область
определения
функции
z  1  x 2.  y 2
Такая функция вычисляется,
если подкоренное
выражение неотрицательно,
т.е.
1 – x2 – y2
≥ 0  x2 + y2 ≤ 1
Область есть указанный на рисунке круг.
Частные производные.
Определение. Частной производной
функции z = z(x, y) по аргументу x
называется производная этой функции по
x, при постоянном y.
Обозначения:
z
zx ,
.
x
• Аналогично, частной производной
функции z = z(x, y) по аргументу y
называется производная этой функции по
y при постоянном x.
• Обозначения:
z
zy ,
.
y
• Из определения следует, что на момент
дифференцирования функция z является
функцией одной переменной и,
следовательно, при нахождении частных
производных справедливы обычные
правила и формулы дифференцирования
функций одной переменной.
•
При дифференцировании полезна
следующая таблица:
xx' = 1,
xy' = 0
yy' = 1,
yx' = 0
cx' = 0,
cy' = 0,
c – const
• Примеры.
1. z = x3 – 3x2y + 2y3 + 1, zx', zy' - ?
zx' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)x' =
(y – const)
= (x3)x' – (3x2y)x' + (2y3)x' + 1x' =
= 3x2 - 3y · (x2)x' + 0 + 0 = 3x2 – 6xy
zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' =
(x – const)
= (x3)y' – (3x2y)y‘ + (2y3)y' + 1y' =
= 0 – 3x2 · yy' + 2(y3)y' + 0 = -3x2 + 6y2
2.
z = xy,
zx', zy' - ?
zx' = (xy)x' = yxy-1, zy' = (xy)y' = xylnx
(y – const)
(x – const)
Полный дифференциал
• Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v),
u и v – независимые переменные. Тогда
частные производные сложной функции z
= z(x(u, v), y(u, v)) = f(u, v) находятся по
формулам:
z
z x z y
(1)




u x u y u
z
z x z y




v x v y v
(2)
• Пример.
u
Дана функция z  x , где x  ln(u - v), y  e v .
z z
Найти
и
u v
y
Найдем 6 частных производных, входящих в
правые части равенств (1) и (2):
z
z
y
x 1
 ( x )' x  y  x ,
 ( x y )' y  x y ln x
x
y
x
x
1
1
 (ln(u  v))'u 
,
 (ln(u  v))'v  
u

v
u v
u
v
y

u
u
(e v )'u 
u
ev
1
 ,
v
y

v
u
(e v )'v 
u
ev
 (
u
v
2
)
1

v u
u
v2
u
ev
Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):
u
1 y
  x  ln x  e v
z
1
 y  x x 1 
u v v
u
z
u
1
x 1
 yx 

u v v 2
v
u
 x y  ln x  e v
(3)
(4)
В данные выражения подставлять x(u, v) и y(u, v) и
упрощать их необязательно. В каждом конкретном
случае, когда необходимо вычислить z’u и z’v в
т. М(х0; у0), рациональнее предварительно вычислять х
и у в этой точке и полученные значения подставлять
в (3) и (4).
Частные производные высших
порядков
• Частными производными второго порядка
функции z=z(x, y) называются частные
производные от частных производных
первого порядка.
2z
 z
 2 z  z
z ' ' xx 
 ( ), z ' ' yy 

( )
x 2 x x
y 2 y y
2z
 z
2z
 z
z ' ' xy 

( ), z ' ' xy 
 ( )
xy y x
yx x y
• Порядок дифференцирования указан в индексе
пи прочтении слева направо.
• Последние две производные отличаются только
порядком, называются смешанными и в случае
их непрерывности равны.
Пример.
z = x2-2xy2 Найти все частные производные
2-ого порядка и проверить равенство
z’’xy = z’’yx
• Вначале найдем частные производные первого
порядка:
z’x = (x2-2xy2)’x = 2x-2y2, z’y = (x2-2xy2)’y = -4xy
Теперь
z’’xx = (2x-2y2)’x = 2, z’’yy = (-4xy)’y = -4x
z’’xy = (2x-2y2)’y = -4y, z’’yx = (-4xy)’x = -4y
Нетрудно видеть, что z’’xy = z’’yx
Выполнение этого условия может служить критерием
правильности нахождения частных производных 1-ого
порядка и смешанных – 2-ого порядка.
Экстремум функции нескольких
переменных
• Точка M(a; b) называется точкой максимума
(минимума) функции Z(x , y), если существует такая
окрестность точки M, что для всех других точек из
этой окрестности
Z(x, y)<Z(a, b) (Z(x, y)>Z(a, b))
• Точки максимума и минимума функции
называются точками ее экстремума.
Соответствующее значение функции есть
экстремум.
Находить экстремум согласно определению в общем случае
бессмысленно. Выделить из области определения функции
конечное число точек, претендующих на точки экстремума,
помогает необходимое условие экстремума.
• «Точками экстремума могут служить только
критические точки, т.е. точки из области
определения функции, в которых все ее
частные производные 1-ого порядка
обращаются в нуль, или не существует хотя бы
одна из них».
• Выделить из множества критических точек точки
экстремума позволяют достаточные условия
экстремума. Укажем на 2 из них.
I.
• Точками экстремума являются лишь те из
критических точек, в окрестности которых
приращение функции
∆Z = Z(x, y) - Z(a, b) не меняет знака. При
этом, если ∆Z>0 (∆Z<0), то критическая
точка есть точка минимума (максимума).
II.
• Рассмотрим в критической точке М(a; b)
дискриминант ∆=АС-В2, где А=z’’xx(a; b),
C=z’’yy(a; b), B=z’’xy(a; b), или B=z’’yx(a; b).
Тогда:
1) если ∆>0, то М(a; b) - точка экстремума, а именно
точка максимума при А<0 (или C<0) и точка
минимума при A>0 (или C>0);
2) если ∆<0, то в точке М экстремума нет;
3) если ∆=0, то требуется дополнительное
исследование.
 Пример.
Найти экстремум функции z=y2-4y+x2
Найдем критические точки. Выпишем частные
производные 1-ого порядка:
z’x=(y2-4y+x2)’x=2x
z’y=(y2-4y+x2)’y=2y-4
Приравниваем их к нулю:
2 x  0  x  0 

  M(0; 2) - критическая
точка
2y - 4  0  y  2 
Производные существуют во всей
области определения.
Найдем дискриминант ∆=АС-В2. Для этого
вначале вычислим частные производные 2-ого
порядка:
z’xx=(2x)’x=2
z’yy=(2y-4)’y=2
Из равных смешанных производных находят
ту, которая получается проще, например, z’’xy:
z’’xy=(2x)’y=0
Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2,
B=z’’xy(0; 2)=0.
Дискриминант ∆=2·2-02=4>0 => М(0; 2)
точка экстремума.
A=2>0 => М(0; 2) - точка минимума.
Тогда zmin = z(0; 2) = 22 - 4·2 + 0 = -4
Ответ: zmin=-4