Экзаменационная работа 2009

Итоговая работа по курсу “Высшая математика” (1 и 2 вариант с ответами)
1. Докажите что если функция f ( x) имеет производную в точке x  2 , то существует
число a такое, что величина f ( x)  f (2) эквивалентна a ( x  2) при x  2 .
1. Докажите что если функция f ( x) дифференцируема (т.е. имеет дифференциал) в точке
x0 , то в этой точке существует производная функции.
2. Приведите пример двух последовательностей, не имеющих конечный предел таких, что
существует конечный предел их суммы. Ответ обосновать.
2. Приведите пример двух функций, разрывных в точке x0 таких, что их сумма является
непрерывной функцией в этой точке. Ответ обосновать.
3. В линейном пространстве симметричных матриц 2х2 найдите координаты элемента
 3 2
 4 3
 3 2
1 1 
A
e

e

e

в
базисе
,
,
1 

 2  2 3  3 1 2  . В ответе напишите
2 1
 3 4




разложение элемента A по базису.
3. {2, -1, -2};
3. В линейном пространстве симметричных матриц 2х2 найдите координаты элемента
 9 10 
 3 2
1 1
3 3
A
в базисе e1  
, e2  
, e3  



 . В ответе напишите
10 4 
 2 3
1 1
3 2
разложение элемента A по базису.
3. {-1, -3, 5}
 1 4 

 2  3 
   1  1 .
4. Решите матричное уравнение X 
1 1  

 2 5 
3 5


4.   0 1  ;
 3 4


 2 3 

 1  2 
   4  1 .
4. Решите матричное уравнение X 
5 
 3

 5 2 
  1  1


4.   17
7 ;
  19  8 


 2 3
 .
4
1


5. Найдите собственные векторы матрицы 
1 2
 .
 4 3
5.   5 ,   2 .
5 Найдите собственные векторы матрицы 
5.   1 ,   5 .
6. Даны три точки A(1; 2; -3; 4), B(3; 4; -2;0), C(2; 4; -3; 6) . Найдите косинус угла между
uuur uuur
векторами AB и AC .
uuur
uuur
6. AB  (2;2;1; 4) и AC  (1;2;0;2) cosA=-2/15
6. Даны три точки A(2; -2; -4; 1), B(4; 2; -5; 3), C(2; 0; -3; 3). Найдите косинус угла между
uuur
uuur
векторами AB и AC .
uuur
uuur
6. AB  (2;4; 1;2) и AC  (0;2;1;2) cosA=11/15
7. При каких значениях параметров a и b график функции f ( x ) 
асимптоту y  2 x  2 при x   .
ax 2  4
имеет
x b
7. a  2 , b  1
7. При каких значениях параметров a и b график функции f ( x ) 
асимптоту y  3 x  3 при x   .
ax 2  5
имеет
x b
7. a  3 , b  1
8. Найдите все точки локального экстремума функции z  4 x3  3xy 2  12 x 2  3 y 2  5 .
Укажите их вид.
(0; 0) -- min, (-2; 0) -- max
8. Найдите все точки локального экстремума функции z  2 x 2 y  4 y 3  2 x 2  10 y 2  3 .
Укажите их вид.
(0; 0) -- min, (0; -5/3) -- max
9. Найдите наибольшее значение функции f ( x, y )  2 x  2 y при условиях 3x  2 y  6 ,
3 x  y  3 , 0  x  3 , y  0 . Сделайте рисунок.
9. f (3,0)  6
9. Найдите наименьшее значение функции f ( x, y )  3 x  y при условиях x  y  4 ,
x  y  0 , x  1 , y  8 . Сделайте рисунок.
9. f (1,3)  6
10. Вычислите двойной интеграл
 x
2
ydxdy , где область G ограничена линиями: y  7 x 2 ,
G
y  0 , x  1.
1
49 6
7
x dx 
10.

2 0
2
10. Вычислите двойной интеграл
 xy dxdy , где область G
2
ограничена линиями: y  3x ,
G
y  0 , x  1.
1
10.
 9x dx  9/5=1.8
4
0