Вопросы к экзаменам формы записи, геометрическая интерпретация).

Вопросы к экзаменам
1. Комплексная плоскость (Понятие комплексного числа, его
формы записи, геометрическая интерпретация).
2. Взаимосвязь форм комплексных чисел. Формула Эйлера.
Операции с комплексными числами.
3. Кривые и области в C .
4. Расширенная комплексная плоскость (Сфера Римана,
стереографическая проекция, бесконечно удаленная точка).
5.
Последовательность
комплексных
чисел
(Понятие,
ограниченная, неограниченная последовательность, бесконечно
малая и бесконечно большая последовательности, связь б.м.
последовательности с б.б.).
6. Предел последовательности комплексных чисел (Определения
по Гейне и Коши, сходимость к бесконечно удаленной точке, теорема
о сходимости последовательности, действия над пределами
последовательностей,
фундаментальная
последовательность,
критерий Коши).
7. Сходимость комплексных числовых рядов. Блок-схема
исследования рядов с комплексными членами.
8. Признаки сходимости и абсолютной сходимости рядов с
комплексными членами.
9. Отображение комплексной плоскости. Функция комплексной
переменной. Геометрическая интерпретация.
10. Обратная функция комплексной переменной. Выделение
однозначных ветвей.
11. Предел функции комплексной переменной (Определения по
Гейне, Коши, на языке окрестностей, необходимое и достаточное
условие существования предела ФКП, критерий Коши, свойства
пределов, бесконечный предел в точке, предел в бесконечно
удаленной точке).
12.
Непрерывность
функции
комплексной
переменной
(Определения по Коши и на языке приращений непрерывности ФУП в
точке, непрерывность в области, равномерная непрерывность,
необходимое и достаточное условие непрерывности ФКП в точке,
свойства, точка разрыва, примеры).
13. Производная функции комплексной переменной.
14. Условия Даламбера-Эйлера.
15. Аналитические функции. Свойства аналитических функций.
16. Гармонические функции. Связь гармонических функций с
аналитическими функциями. Восстановление аналитической функции
по заданной ее действительной или мнимой части.
17. Криволинейный интеграл по кривой в комплексной плоскости.
Контурный интеграл.
18. Свойства криволинейного интеграла функции комплексной
переменной. Неопределенный интеграл ФКП.
19. Основная теорема Коши для односвязной области.
20. Основная теорема Коши для многосвязной области.
21. Следствия основных теорем Коши. Понятие интеграла Коши.
22. Интегральная формула Коши, ее следствия.
23. Способы вычисления интеграла по контуру.
24.
Функциональные
последовательности.
Предел
функциональной последовательности.
25. Функциональные ряды. Сумма ряда. Область сходимости.
26. Степенной ряд. Круг сходимости. Сумма степенного ряда.
Примеры нахождения суммы степенных рядов.
27. Свойства степенных рядов. Теорема Тейлора. Ряд Тейлора.
Ряды Тейлора для некоторых функций.
28. Ряд по целым степеням. Теорема Лорана.
29. Следствия теоремы Лорана. Разложение рациональных дробей
в ряд Лорана.
30. Нули аналитической функции.
31. Классификация изолированных особых точек. Порядок полюса.
Связь нуля и полюса.
32. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.
Основная теорема о вычетах. Обобщенная теорема о вычетах.
33. Вычисление вычетов в правильной точке и во всех типах
особых точек.
34. Применение вычетов к вычислению интегралов.