10. Интеграл типа Коши

§10. Интеграл типа Коши.
Теорема Мореры.
п.1. Интеграл типа Коши.
Пусть Г — произвольная кусочно-гладкая
кривая, замкнутая или незамкнутая.
Пусть функция f (z ) непрерывна вдоль Г.
Рассмотрим интеграл
1
f ( )
d .
2i   z


(1)
Выражение (1) имеет определенное значение
в каждой точке z, z  .
Поэтому, оно определяет однозначную
функцию
1
f ( )
F ( z) 

2i   z
d , z  .

Если Г — замкнутая кривая, и f (z ) —
аналитическая функция как внутри Г, так и на
Г, то
 f ( z ), z внутри ,
F ( z)  
0,
z вне .
В этом случае (1) называется интегралом
Коши.
При общих вышеуказанных предположениях
выражение (1) называется интегралом типа
Коши.
Теорема 1.
Функция F (z ) , определенная интегралом типа
Коши (1), аналитична во всякой односвязной
области G, не содержащей точек кривой Г, и
для ее производной имеет место формула
1
f ( )
F ' ( z) 
d

.
2i (  z ) 2


Доказательство.
Пусть z — произвольная точка области G;
z — такое, что z  z  G.
Рассмотрим приращение
1
f ( )
1
f ( )
F ( z  z )  F ( z ) 
d 
d 
2i   z  z
2i   z


z

z
f ( )

d .
2i (  z  z )(  z )

z  z

G



Тогда
F ( z  z )  F ( z )
1
f ( )
lim
 lim
d
z 0
z 0 2i (  z  z )(  z )
z


или
1
f ( )
F ' ( z) 
d

,
2
2i (  z )


если возможен предельный переход под
знаком интеграла в правой части.
Обоснуем этот предельный переход.
Покажем, что разность
1
f ( )
1
f ( )
R
d 
d 
2
2i (  z  z )(  z )
2i (  z )




z
f ( )

d

2i (  z  z )(  z ) 2


стремится к нулю при
z  0.
Так как функция f (z ) непрерывна вдоль Г, то
| f ( ) | M ,   .
Поэтому,
| z | M
| R |
2
| d |
 |   z  z |  |   z |

.
2
Обозначим через 2d расстояние от точки z до
кривой Г, т.е.
2d : min |   z | .
 
Тогда
|   z | d ,   ,
и, кроме того, при достаточно малых
|   z  z | d .
Поэтому,
| z | M
| R |
2
где l — длина Г.


| d |
d
3

| z | Ml
2d
3
,
z
Значит,
lim R  0.
z 0
Последнее равенство обосновывает
предельный переход, что и завершает
доказательство теоремы.
Теорема 2.
Функция F (z ) , определенная интегралом типа
Коши (1), имеет в каждой точке z, лежащей вне
кривой Г, производные всех порядков.
При этом имеют место формулы
F
( n)
n!
f ( )
( z) 
d

,
n

N
.
2i (  z ) n1


Доказательство.
Методом математической индукции.
п.2. Бесконечная дифференцируемость
аналитической функции.
Теорема 3.
Каждая функция f (z ) , аналитическая в
области G, имеет производные всех порядков
в этой области, т.е. бесконечно
дифференцируема в ней.
Доказательство.
Пусть z — произвольная точка области G;
Г — кусочно-гладкий замкнутый контур,
окружающий точку z и лежащий со всеми
своими внутренними точками в области G.
С одной стороны, по
интегральной теореме
Коши
z

G
1
f ( )
f ( z) 
d .
2i   z


С другой стороны, на основании теоремы 2
функция f (z ) , определяемая интегралом типа
Коши, дифференцируема в точке z
произвольное число раз.
В силу произвольности выбора точки z
заключаем, что функция f (z ) имеет
производные всех порядков повсюду в
области G.
Замечание 1.
Для производных аналитической функции
справедливы формулы
f
( n)
n!
f ( )
( z) 
d

,
n

N
,
2i (  z ) n1


которые называются формулами Коши для
производных.
Замечание 2.
Любая производная аналитической функции
является аналитической функцией.
п.3. Обращение интегральной теоремы.
Теорема 4 (Морера).
Пусть
G — односвязная область;
f (z ) — непрерывная в G функция;
для любого кусочно-гладкого замкнутого
контура Г,   G , справедливо равенство


f ( )d  0.
Тогда
функция f (z ) является аналитической в
области G.
Доказательство.
Из условия теоремы следует, что интеграл
z

f ( )d
z0
не зависит от пути, соединяющего точки z0 и z.
По теореме 1 §9 функция z
F ( z) 

f ( )d
z0
является аналитической в области G, причем
F ' ( z )  f ( z ).
Для завершения доказательства осталось
применить замечание 2.