Пример5

В треугольнике M0M1M2 найти уравнение медианы, высоты, проведенных из вершины
M0 а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию M1M2. Вычислить
длину найденной высоты.
M0(2,-3) M1(1,0) M2(-2,-4)
Найдем середину отрезка M1M2 - точку M3
x  x 2 1 2
1
x3  1


2
2
2
y1  y 2 0  4  4
y3 


 2
2
2
2
 1

М3   ,2 
 2

Найдем уравнение медианы M0M3, используя координаты точек M0 и M3:
x  x0
y  y0
x 2
y   3
x 2 y 3

;

;

1
5
x3  x0 y 3  y 0
 2   3
1
 2

2
2
2(x-2)=-5(y+3);
2x-4=-5y-15
2x+5y+11=0
Найдем вектор
М1М2 ={x2-x1;y2-y1}={-2-1;-4-0}={-3;-4}
Уравнение высоты, проведенной из вершины M0, найдем, используя вектор М1М2 как
вектор нормали и координаты точки M0(2,-3):
-3*(x-2)-4*(y-(-3))=0
-3x+6-4y-12=0
3x+4y+6=0;
Найдем уравнение стороны M1M2 используя координаты точек M1 и M2.
x  x1
y  y1
x 1
y 0
x 1 y
4(x-1)= 3y; 4x-4= 3y;

;

;

x 2  x1 y 2  y1
 2 1  4  0
3 4
4x-3y-4=0
Длина высоты равна расстоянию точки M0 до прямой M1M2:
4 * 2  3 *  3  4 8  9  4
13
13
d



 2,6
2
5
16  9
25
4 2   3
Найдем середину отрезка M0M1 - точку E
x  x1 2  1 3
y  y1  3  0
3
3 3
xЕ  0

 ; yЕ  0

  ; Е , 
2
2
2
2
2
2
2 2
Найдем середину отрезка M0M2 - точку F
x  x2 2  2
y  y2  3  4
7
7

F 0, 
xF  0

 0 ; yF  0

 ;
2
2
2
2
2
2

Уравнение средней линии EF постоим, используя координаты точек Е и F:
3
3
3
3
x
y
x
y
x  xE
y  yE
2 
2 ;
2 
2 ; 2 x  3  2y  3 ;

;
3
7 3
3
4
xF  xE y F  y E
3
4
0
 


2
2 2
2
2
4(2x-3)=3(2y+3);
8x-12=6y+9
8x-6y-21=0