Пример7

Даны уравнения двух сторон треугольника 4x-5y+9=0,. Найти уравнение третьей
стороны, если известно, что медианы треугольника пересекаются в точке М(3;1).
В
N
М
А
С
Найдем координаты вершины А как точку пересечения прямых
АВ: 4x-5y+9=0 и АС: x+4y-3=0
4x-5y+9=0
х=-1
A(-1;1)
x+4y-3=0
y=1
По свойству медианы АМ = 2МN, следовательно:
xM-xA=2*(xN-xM)
3-(-1)=2*( xN-3)
4=2xN-6
xN=5
N(5;1)
yM-yA=2*(yN-yM)
1-1=2*( yN-1)
0=2yN-2
yN=1
Уравнение прямой ВС будем искать в виде y=kx+b.
Так как прямая ВС проходит через точку N, то координаты точки N(5;1) должны
удовлетворять уравнению прямой ВС: y=kx+b
5=k*1+b  b=1-5k  ВС: y=kx+1-5k
Найдем координаты вершины B как точку пересечения прямых
АВ: 4x-5y+9=0 и BС: y=kx+1-5k
4  25k

4x - 5y  9  0 x B  5k - 4


y  kx  1- 5k y B  k 4  25k  1 - 5k
5k - 4

Найдем координаты вершины C как точку пересечения прямых
АС: x+4y-3=0 и BС: y=kx+1-5k
20k - 1

x C  4k  1
x  y - 3  0


y  kx  1- 5k y C  k 20k - 1  1- 5k
4k  1

По свойству медианы BМ = МC, следовательно: xM-xB=xC-xM
4  25k 20k  1
20k  1 4  25k
66k  48
8
5

5

 10  0
0 k
5k - 4
4k  1
5k - 44k  1
4k  1
5k - 4
11
Подставляя значение k, находим b=51/11
8
51
Окончательно, уравнение прямой ВС: y   x 
или
11
11
8x+11y-51=0