Задача 2. Пусть производственная функция есть функция Кобба-Дугласа. Чтобы увеличить выпуск продукции на а= 2%, надо увеличить основные фонды на b = 4% или численность работников на c = 6%. В настоящее время один работник за месяц производит продукции на М = 103 руб, а всего работников L = 103. Основные фонды оцениваются в К=106руб. Найдите производственную функцию и оптимальный размер, если период амортизации основных фондов N = 6 месяцев, зарплата работников в месяц d = 103руб. Решение Найдем коэффициенты α, β: α = а/b = 1/2, β = а/с = 1/3 следовательно: Y A K 1 / 2 L1 / 3 Для нахождения А подставим в эту формулу значения K, L, M, имея в виду, что Y = ML 10 3 10 3 10 6 10 6 A (10 6 )1 / 2 (10 3 )1 / 3 Отсюда А =100 Таким образом, производственная функция имеет вид: Y 100 K 1 / 2 L1 / 3 Выпуск продукции измеряется в денежном выражении, так что v = 1. Стоимость месячного содержания одного рубля фондов 1/N, т. е. получаем систему уравнений 50 L1 / 3 1 Y 1 1 / 2 K N => K 1 / 2 6 100 K Y d 1000 L 3 L2 / 3 Решая совместно систему получает: L 1000 K 9.0 10 6 Ответ: L 1000, K 9.0 10 6 , Y 100 K 1 / 2 L1 / 3 Задача 4. Рассмотрите рынок с тремя участниками (i=1,2,3), к каждого одна и та же функция полезности ui( x1, x 2, x3) x1x 2 x3 . Пусть начальное вещество первого, второго и третьего участников соответственно А=(8,8,2), В=(5,7,2), С=(3,3,2). Найдите равновесные цены и доход каждого участника. Решение Решим задачу потребителя для i-го участника (i=1,2,3). x1x 2 x3 max p1x1 p 2 x 2 p3 x3 Q x1 0, x 2 0, x3 0 Составим функцию Лагранжа: L x1x 2 x3 (Q p1x1 p 2 x 2 p3x3 Найдем условный максимум. x2 x3 2 p1 x1 x1x3 2 p2 x2 x1x2 2 p3 x3 Отсюда: p1x1 p 2 x2 p3x3 Подставим в четвертое уравнение системы, получаем: Q ; 3 p1 Q x2 ; 3 p2 Q x3 ; 3 p3 x1 Найдем доходы участников: Q1 8 p1 8 p 2 2 p3 Q 2 5 p1 7 p 2 2 p3 Q3 3 p1 3 p 2 2 p3 Найдем суммарный спрос на каждый товар: Q1 Q 2 Q3 16 p1 18 p 2 6 p3 3 p1 3 p1 3 p1 3 p1 Q1 Q 2 Q3 16 p1 18 p 2 6 p3 D 2( p ) 3 p2 3 p2 3 p2 3 p2 Q1 Q 2 Q3 16 p1 18 p 2 6 p3 D3( p ) 3 p3 3 p3 3 p3 3 p3 D1( p ) Приравниваем спрос и предложения: 16 p1 18 p 2 6 p3 16 3 p1 16 p1 18 p 2 6 p3 18 3 p2 16 p1 18 p 2 6 p3 6 3 p3 Получаем: 16 p1 18 p 2 6 p3 Найдем наименьшее общее кратное НОК (8;9;3)=72. Тогда р1=9, р2 =8, р3 =24 Найдем равновесное распределение: Q1 8 9 8 8 2 24 184 Q 2 5 9 7 8 2 24 149 Q3 3 9 3 8 2 24 99 Ответ: Р=(9;8;24), Q=(184;149;99)