1 (-12,7,-1) до плоскости, проходящей через точки М

1. Найти расстояние от точки М0(-12,7,-1) до плоскости, проходящей через
точки М1(-3,4,-7), М2(1,5,-4) , М3(-5,-2,0)
Решение:
Найдем уравнение плоскости:
x3 y4 z7
1  3 5  4 4  7  0
5  3 2  4 0  7
x3 y4 z7
4
1
3 0
2
6
7
1 3
4 3
4 1
x  3 
y  4 


 z  7  0
6 7
2 7
2 6
25  x  3  34  y  4   22  z  7   0
25 x  34 y  22 z  57  0
Если плоскость задана уравнением ax  by  cz  d  0 , то расстояние от точки
 x0 , y0 , z0  до нее находим по формуле:

ax0  by0  cz0  d
a 2  b2  c2

25   12   34  7  22   1  57
252  342  222

459
2265

459
2265
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
А(1,0,-2)
перпендикулярно вектору ВС, если В(2,-1,3) и С (0,-3, 2).
Решение:
Найдем координаты вектора BC :
BC   0  2,  3   1 , 2  3   2,  2,  1
Уравнение плоскости имеет вид:
ax  by  cz  d  0 ,
где
 a, b, c  – вектор нормали, т.е. вектор, перпендикулярный плоскости, в
качестве которого возьмем BC .
Неизвестную d находим, подставив в уравнение координаты точки A :
ax  by  cz  d  0
2 x  2 y  z  d  0
2  1  2  0  1   2   d  0
d 0
Таким образом, уравнение искомой плоскости:
2 x  2 y  z  0  0
2x  2 y  z  0
3.
Найти угол между плоскостями х – 3у +5 =0 и 2х – у + 5z – 16 = 0
Решение:
Угол между плоскостями равен углу между их нормалями:
cos  
n1  n2
n1  n2
,
где, в нашем случае,
n1  1,  3, 0 
n2   2,  1, 5
Тогда
cos  
1  2   3   1  0  5
1  3  0  2 1  5
2
2
2
2
2
2

23
5
1


10  30 10 3 2 3
4. Найти z-координату точки А(0,0, z), равноудаленной от точек В(5,1,0) и
С(0,2,3).
Решение:
Найдем координаты векторов AB и AC :
AB   5  0, 1  0, 0  z   5, 1,  z 
AC   0  0, 2  0, 3  z    0, 2, 3  z 
Расстояния AB и AC – это длины векторов AB и AC , которые по условию
должны быть равны:
AB  AC
52  11    z   02  22   3  z 
2
2
25  1  z 2  4  9  6 z  z 2
26  13  6 z
6 z  13
z
13
6
Следовательно, точка A имеет координаты A  0, 0,   .
6

13
5. Напишите каноническое уравнение прямой, заданной системой уравнений
 2x  y  z  2  0

2 x  y  3z  6  0
Решение:
Найдем направляющие вектора:
n1  2;1;1
n2  2;1;3
i
j
k
s  n1  n2  2
1
1 i
2 1  3
1
1
1  3
 j
2
1
2 3
k
2
1
2 1
 i (3  1) 
 j (6  2)  k (2  2)  2i  8 j  4k
Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен ни одной из
координатных плоскостей, то прямая пересекает все три координатные
плоскости. Следовательно, любую из координат можно положить равной нулю,
а две другие найти, решая систему уравненений.
Положим y=0, тогда
 2x  z  2  0

2 x  3 z  6  0
 x0  0; z 0  2
M (0;0;2)

x
y z2
 
2 8
4