     

Дано:


C 3  x 2  y  1  x  y 2 , 4 x  y  9, x  1, y  1;
p , x, y   
0, в остальных случаях.

  2    2,  3  ,   4    .
1. Нахождение С, функций и плотностей распределения компонент.
y
x=1
5
y=9-4x
1
y =1
0
1
2
x
Найдем сначала неизвестную константу C исходя из равенства:

  p  x, y dxdy  1.
,
  
Отметим, что множество на плоскости, на котором плотность p , не равна нулю это
прямоугольный треугольник, образованный пересечением трех прямых: x  1, y  1
и y  9  4  x.
Учитывая это получим

9 4 x
9 4 x
9 4 x
 9 4 x



p ( x)   p ,  x, y dy   C (3x 2 y  xy 2 )dy  C   (3x 2 y  xy 2 )dy   C  3x 2  ydy  x  y 2 dy 

1
1
1
 1



9

4
x
9

4
x
2


y2
y3
  C  3x 80  72 x  16 x 2  x 728  972 x  432 x 2  64 x 3 
 C  3x 2
x
 2


2 1
3 1 
3




728 
8
x  , при 1  x  2 .
= C  x 4  36 x 3  204 x 2 
3 
3
При x  [1,2] p ( x)  0 . Следовательно,


 

728 
364 2 2 
8 4
8 52
3
2
4 2
3 2
 p ( x)dx  1 C  3 x  36 x  204 x  3 x dx  C  15 x 1  9 x 1  68 x 1  3 x 1  .
593
 248

C
 135  476  364   C
.
15
 15

2
1
15
.
593
Найдем плотности распредeления случайных величин p (x) и p ( y ) .
C 

p ( x) 
9 4 x
 p  x, y dy   C (3x
,

1
2
728 
8
y  xy 2 )dy  C  x 4  36 x 3  204 x 2 
x
3 
3
 15  8 4
728 

x  36 x 3  204 x 2 
x , x  1,2;
  593  3
3 

0, ост.

9 y
 94 y

4


2
2
2
2
p ( y )   p ,  x, y dx   C (3 x y  xy )dx  C  y  3 x dx  y  xdx 
 1


1
1


9 y
4

9 y

2 4 
  729  243 y  27 y 2  y 3  y 2  81  18 y  y 2  
 3 94 y

x
 y
 C y x
 y2

C
 1  
 1 

 
1
2
64
2
16







1


 665 y  243 y 2  27 y 3  y 4 65 y 2  18 y 3  y 4 
y 4  9 y 3  113 y 2  665 y
  C
=
 C 

64
32
64




 15
15

y 4  9 y 3  113 y 2  665 y , y  1,5
4
3
2

y  9 y  113 y  665 y   37952
37952

0, ост.



Найдем функцию распределения F (x) по формуле
x
F ( x) 
 p (t )dt .

Рассмотрим 3 случая:
1 случай: x  1. Тогда p (t ) =0 для любого t  x . Значит F ( x )  0 .
2 случай: x  2 . Тогда F ( x)  1 .
3 случай: 1  x  2 . Тогда
x
F ( x) 
15  8 4
728 
3
2
t dt
 t  36t  204t 
593  3
3 
1
x
 p (t )dt 

x
15  8 5
364 2 
15  8 5
364 2 943 
4
3
4
3

t  
x 
 t  9t  68t 
 x  9 x  68 x 

593  15
3
3
15 
 1 593  15
Значит
0, x  1

364 2 943 
 15  8 5
4
3
F ( x)  
x 
 x  9 x  68 x 
, x  1,2
3
15 
 593  15
1, x  2

Вычислим теперь функцию распределения F ( y ) . По аналогии с нахождением функции
распределения F (x) получим, что F ( y )  0 при y  1 и F ( y )  1 при y  5 . Пусть теперь
1 y  5
2
y
15
15  t 5 9t 4 113t 3 665t 2 
 

F ( y)   p (t )dt  
t 4  9t 3  113t 2  665t dt 


37592
37952  5
4
3
2  1

1
y

y

15  y 5 9 y 4 113 y 3 665 y 2 17567 
 
.




37952  5
4
3
2
60 
Значит
0, y  1

5
4

9y
113 y 3 665 y 2 17567 
 15  y

, y  1,5 .
F ( y )  




37952
5
4
3
2
60




1, y  5

Случайные величины  и  зависимы так как ясно, что p , x, y   p ( x)  p ( y ) и
области, где p ( x)  0; p ( y )  0 и p , x, y   0 отличаются.
2. Нахождение распределения с.в.  и  ; E , E , D , D .
Найдем распределение и характеристики с.в.   3   . Ясно, что это дискретная
случайная величина, и, поскольку с.в.  может принимать значения из полуинтервала
1,5 , то  может принимать значения из следующего множества 3,6,9,12.
Найдем распределение с.в. 
2


3


2
15
50567
y 4  9 y 3  113 y 2  665 y dy 
 0,33;
37952
151808
2
4
4




2
P  3  P  1,2   p  y dy  
15
42377
y 4  9 y 3  113 y 2  665 y dy 
 0,28;
37952
151808
1
1
3
P  6  P  2,3   p  y dy  
P  9  P  3,4   p  y dy  
15
41777
y 4  9 y 3  113 y 2  665 y dy 
 0,28;
37952
151808
3
3
5
5
P  12  P  4,5   p  y dy  
15
17087
y 4  9 y 3  113 y 2  665 y dy 
 0,11.
37952
151808
4
4
Отметим, что (для проверки!) P  3  P  6  P  9  P  12  1 .
Посчитаем мат. ожидание и дисперсию с.в.  :
4
E   P  3  i   3  i 
i 1
42377
50567
41777
17087
505785
3 
6 
9 
12 
 6,663.
151808
151808
151808
151808
75904
4
D   P  3  i   3  i  E 
2
i 1
2
2
2
42377  505785 
50567 
505785 

3 
6 
 
 
151808 
75904  151808 
75904 
2
41777 
505785 
17087 
505785 
49553572815

9 
 12 
 8,6.
 
 
151808 
75904  151808 
75904 
5761417216
Теперь вычислим распределение и характеристики с.в.   2    2 .
3
Для нахождения плотности распределения с.в.  воспользуемся заменой переменной.
 1
 2
Заметим, что:       2    2     1   
. При этом  1    и видно, что
2
2
преобразование взаимно однозначно. Поэтому

F ( x)  P  x  

 1  x 
 p t dt  P    x   P   x    p t dt.
x
1


Следовательно,

p x   F ( x)  p  1 x    1 x  



3
2
 15  8  x  2  4
 x2
 x  2  728  x  2   x  2


 36
 1,2;
  204
 

 ,
 1186  3  2 
3  2   2
 2 
 2 


0, ост.

Для удобства отдельно преобразуем выражение в скобках.
4
3
2
8 x  2
 x2
 x  2  728  x  2  x  8 x  24 x  32 x  16


  36
  204
 


3 2 
3  2 
6
 2 
 2 
9 x 3  54 x 2  108 x  72
364 x  728

 51x 2  204 x  204 

2
3
x 4  8 x 3  24 x 2  32 x  16  27 x 3  162 x 2  324 x  216  306 x 2  1224 x  1224  728 x  1456


6
x 4  35 x 3  120 x 2  140 x  464

6
4
3
2
Значит


 5

x 4  35 x 3  120 x 2  140 x  464 , x  0,2;
p x    2372

0, ост.
Теперь можно найти характеристики c.в.  .
E 

 x  p x dx   x  2372 x

2
5
4

 35 x 3  120 x 2  140 x  464 dx 
0
2

5  x6
140 3
1160
  7 x 5  30 x 4 
x  232 x 2  
 0,65.
2372  6
3
 0 1779
E 2 

2

0
2
2
 x  p x dx   x 


5
x 4  35 x 3  120 x 2  140 x  464 dx 
2372
2
5  x 7 35 6
464 3 
7900
  x  24 x 5  35 x 4 
x  
 0,63.
2372  7
6
3
 0 12453
D  E 2  E  
2
2
7900  1160 
4634900

 0,21.
 
12453  1779 
22153887
4
Вычисление вектора мат. ожиданий и ковариационные характеристики вектора
 ,  . Нахождение условного распределения  при условии  ; E |  , D |   .
 E 
 .
Найдем вектор мат. ожиданий E  
 E 

2
15  8 4
728 
3
2
E   x  p x dx   x 
x dx 
 x  36 x  204 x 
593
3
3



1
2
15  4 6 36 5
728 3 
2359

x  51x 4 
x  
 1,33.
 x 
593  9
5
9
 1 1779
E 

 y  p  y dy   y  37952 y
5

15
4
 9 y 3  113 y 2  665 y dy 
1
5
15  y 6 9 5 113 4 665 3 
1603
  y 

y 
y  
 2,7.
37952  6 5
4
3
 1 593
1,33 
 .
Следовательно, E  
 2,7 
Вычислим ковариационную матрицу:
D
 cov ,   cov ,  
  
C  
 cov ,   cov ,   E   E  E
E   E  E 
 .
D

Чтобы посчитать дисперсии найдем мат. ожидания E 2 и E 2
E 2 

2

1
2
2
 x  p x dx  x 
15  8 4
728 
3
2
x dx 
 x  36 x  204 x 
593  3
3 
2
15  8 7
204 5 182 4 
7516
6

x 
x  
 1,81.
 x  6x 
593  21
5
3
 1 4151
E 2 

5
2
2
 y  p  y dy  y 

1


15
y 4  9 y 3  113 y 2  665 y dy 
37952
5
15  y
3
113 5 665 4 
34227
  y 6 

y 
y  
 8,25.
37952  7 2
5
4
4151
1
7
2
7516  2359 
1158725
D  E  ( E ) 

 0,05.
 
4151  1779 
22153887
2
2
2
D  E 2  ( E ) 2 
2190528  102592 

  0,94.
265657  37951 
Найдем

2 9 4 x
15
E    x  y  p ,  x, y dxdy 
593 1
  
 x  y  3  x
2

 y  x  y 2 dydx  .
1
5
4
2
9 4 x
9 4 x
2


15 
15  3
3
3
2
2
3
2 9  4 x   1

dx




3

x
y
dy

x
y
dy
dx

x
9

4
x

1

x







593 1 
593
4
1
1
1








15 4 x 3 9  4 x   1  x 2 9  4 x   1
2041
dx 
 3,44.

593 1
4
593
2
3
4
2041 2359 1603


 0,14.
593 1779 593
 0,05  0,14 
 .
Имеем матрицу ковариации: 
  0,14 0,94 
Найдем условное распределение по формуле:


0, x  1

2
p , x, y 0   64 3  x  y0  1  x  y0 2
 9  y0 
p ,  y0 x  
 4
, x  1,
.
3
2
p  y 0 
4
y

9
y

113
y

665
y


0
0
0
 0
9

y

0
0, x 

4
Теперь мы можем найти условное мат. ожидание и дисперсию:
Следовательно, E   E  E 





64
E ,  y0 x | y0    x  p ,  y0 x dx  4
3
2
y0  9 y0  113 y0  665 y0




64
2
y0  9 y0  113 y0  665 y0
4
3
64
 4
3
2
y0  9 y0  113 y0  665 y0


9 y0
4
  x  3  x

 y0  1  x  y0 dx 
2
1
9  y0
4
3
x 
 y0 x 4  y0 2 
3 1
4
3

2

 3 y   9  y  4  y 2   9  y 3  
0
0
 0 
  1  0  
  1 .
 3  4 

 4  4 





Значит


64

E ,  y0 x | y0    4
3
2
 y0  9 y0  113 y0  665 y0



 3 y   9  y  4  y 2   9  y 3  
0
0
 0 
  1  0  
  1 , y0  1,5
 3  4 

 4  4 





0, ост
Для нахождения дисперсии найдем E 2 ,  y x | y0 
0
E 2 ,  y x | y0  
0

x
2
 p ,  y0 x dx 


64
2
y0  9 y0  113 y0  665 y0
4
3
9  y0
4
  x  3  x
2
2

 y0  1 x  y0 dx 
2
1
9  y0
 3 y0 5 y0 2 4  4
64


x 
x 

4
3
2
4
y 0  9 y 0  113 y 0  665 y 0  5
1



64
4
3
2
y0  9 y0  113 y0  665 y0


 3 y   9  y 5  y 2   9  y  4  
0
0
 0 
  1  0  
  1 
 4  4 

 5  4 





6
Следовательно,


64

E 2 ,  y x | y 0    4
3
2
0
 y 0  9 y 0  113 y 0  665 y 0



 3y
 0
 5

  9  y0  5  y0 2

  1 
 4 
 4


0, ост
  9  y0  4  

  1 , y 0  1,5
 4 



Дисперсия находится по формуле.


D ,  y0  x | y0   E 2 ,  y x | y 0   E ,  y0  x | y0 
0
2
Нахождение распределения  ; E ; D .
Найдем сначала функцию распределения с.в.  .
F4  t   P4      t  
 p  x, y dxdy .
,
4 x  y t
y
x=1
5
y=9-4x
1
0
y =1
1
2
x
y=t-4x
Рассмотрим 3 случая:
1 случай: t  9 . В этом случае интеграл берется по всей области 4 x  y  9, x  1, y  1 и,
следовательно, интеграл равен 1.
2 случай: t  5 . В этом случае интегрирование будет производиться по области где
плотность равна 0. Следовательно, интеграл равен 0.
3 случай: 5  t  9 (картинка относится к этому случаю).
В этом случае получаем:
7

4 x  y t
15
p ,  x, y dxdy 
593

15 


593 

t 1
4

1


15
593
5
1186

1
t 1
4
 9t
2
  3  x
1
2

 y  1  x  y 2 dydx
1
.

t 4 x
t 4 x

 
2
2
 3  x  ydy  x  y dy dx 


1
1

 

15

593
t 1
4
t 1
4 t 4 x
t 1
4

1
2
3


t  4x 1 
2 t  4 x   1
3 x
dx
x


2
3






9 x 2 t 2  8tx  16 x 2  1  2 x t 3  12t 2 x  48tx 2  64 x 3  1
dx
6

x 2  72tx 3  144 x 4  9 x 2  2t 3 x  24t 2 x 2  96tx 3  128 x 4  2 x dx
1

5
1186
t 1
4
 2t
1

3

x  15t 2 x 2  24tx 3  16 x 4  9 x 2  2 x dx
t  52 7t 3  70t 2  145t  20
151808
Значит
1, t  9

 t  52 7t 3  70t 2  145t  20
F4  (t )  
, t  5,9
151808

0, t  5

Теперь перейдем к вычислению плотности распределения.
0, t  9

 57t 4  402t 2  1288t  765
p 4  (t )  F4  (t )  
, t  5,9 .
151808

0, t  5

За счет линейности мат. ожидания получим:
E  E (4   )  4 E  E  4 1,33  2,7  8,02 .


Найдем дисперсии зависимых величин:
D  D4     E 4     E 4     64E 2  8E  E 2  64  E   8EE  E  
2
2
2
2
 64D  8 cov( , )  D  64  0,05  8  (0,14)  0,94  3,02
8