Тетраэдр задан уравнениями плоскостей Чему равны: 1)Объем

Тетраэдр задан уравнениями плоскостей
Чему равны:
1)Объем
2)Сos угла между ребрами AB и DB
3)Длина медианы DM боковой грани ADC
4)Высота тетраэдра OD
5)cos угла между гранями ABC и BCD
6)Основание высоты OD
7)sin угла между ребром CD и гранью ABC
8)Длина бимедианы ребер AB и CD
9)Расстояние между ребрами AB и CD
РЕШЕНИЕ:
Найдем координаты вершин тетраэдра.
Точка пересечения 3 плоскостей
,
,
имеет следующие координаты:
Найдем координаты точки A:
Найдем координаты точки B:
Найдем координаты точки C:
Найдем координаты точки D:
1) Формула для нахождения объема тетраэдра:
2) Чтобы найти косинус угла между ребрами AB и DB воспользуемся формулой для косинуса угла
между векторами:
3) Чтобы найти длину медианы DM боковой грани ADC, нужно сначала найти координаты точки M,
которая делит отрезок AC пополам.
Формула для рассчёта координат середины отрезка:
Координаты точки M:
Координаты точки D :
Длина медианы DM:
4) Высота OD есть расстояние от точки D до плоскости ABC.
Расстояние от точки
до плоскости
находится по формуле
5) Формула для косинуса угла между плоскостями
Косинус угла между гранями ABC и BCD:
6) Основание высоты OD есть расстояние от прямой OD до любой из граней AB, BC или AC.
Расстояние между прямыми
находится по формуле:
Уравнение прямой, перпендикулярной плоскости
точку
находится по формуле:
и проходящей через
Таким образом, уравнение прямой OD :
Уравнение прямой AB
Основание R высоты OD :
7) Формула для синуса угла между прямой
и плоскостью
Уравнение прямой CD :
Синус угла между CD и ABC:
8) Бимедиана ребер AB и CD – отрезок, соединяющий их середины.
Формула для рассчёта координат середины отрезка:
Середина отрезка AB :
Середина отрезка CD :
Длина бимедианы:
9) Расстояние между прямыми
находится по формуле:
Уравнение прямой AB (из пункта 6):
Уравнение прямой CD (из пункта 7):
Расстояние между AB и CD :
D
ODC
B
R
OAB
O
M
C
A