Тема: «Неравенства. Системы неравенств» 1. Основные

Тема: «Неравенства. Системы неравенств»
1. Основные сведения.
Неравенство – запись вида f(x)<0 (f(x)>0, f(x)0, f(x)0), где f(x) – многочлен, содержащий переменную х.
Решить неравенство – означает найти все значения переменной х, которые обращают данное неравенство в
верное числовое неравенство.
Решить систему неравенств – означает найти все значения переменной х, которые обращают в верное числовое
неравенство каждое неравенство системы.
1
1
1. Если a < b, то b > a;
3. Если a < b, с > 0, то ac < bc;
5. Если 0 < a < b, то >
𝑎
𝑏
2. Если a < b, то a + c < b + c;
4. Если a < b, с < 0, то ac > bc;
6. Если a < b, c < d, то a + c < b + d
7. Если a, b, c, d > 0, a < b, c < d, то ac < bd.
2. Примеры решений.
Линейное неравенство
1
4,3x  2 2,8x  0,6  13 3x  0,6  2,9 x
4,3𝑥 − 1,4𝑥 + 0,3 > 𝑥 + 0,2 + 2,9𝑥
4,3𝑥 − 1,4𝑥 − 𝑥 − 2,9𝑥 > −0,3 + 0,2
−𝑥 > −0,1
𝑥 < 0,1
Ответ: (−∞; 0,1).
Неравенство второй степени
(x 2 − 6x + 5)(2 − √5) ≤ 0
2 − √5  0
2  √5
4 < 5  2 − √5 < 0 
x 2 − 6x + 5  0
(найдём
корни
квадратного
трёхчлена (см. предыдущую тему)).
𝑥 = 1;
[
𝑥 = 5.
ф-ция 𝑦 = 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 – квадр. фция, график – парабола, а > 0 
ветви напр. вверх.
Система линейных неравенств
8 x  1  5 x  1,

9 x  9  8 x  8.
3𝑥 > −2;
{
𝑥 < −1.
2
{𝑥 > − 3 ;
𝑥 < −1.
Ответ: нет решений.
Метод интервалов
(x − 1)2 (x − 2)4 (x − 3)3 ≥ 0
𝑥 = 1;
[𝑥 = 2; – корни многочлена.
𝑥 = 3.
(При переходе через 1 и 2 не
происходит чередования знаков.
Почему?)
Ответ: [3; +∞)
Метод интервалов (слева – дробь)
(x + 13)(x + 2)
x 2 + 6x + 9
≥0
≥0
x − 13
x 2 + 3x − 10
2
𝑥 = −13;
(𝑥 + 3)
≥0
[ 𝑥 = −2; – обращают в 0 каждый
(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)
𝑥 = 13.
𝑥 = −3;
множитель.
[𝑥 = −5;
𝑥 = 2.
(точка 13 – выколотая, т.к. (х – 13) –
в знаменателе.)
Ответ: [−13; −2]; (13; +∞)
Ответ: (−∞; −5); (2; +∞); −3.
Ответ: (−∞; 1]; [5; +∞).
Система неравенств второй степени:
−10 < 𝑥 < 4;
𝑥 2 + 6𝑥 − 40 < 0, (𝑥 + 10)(𝑥 − 4) < 0(1);
{ 2
{
{ 𝑥 ≥ 3;
[
𝑥 + 3𝑥 − 18 ≥ 0. (𝑥 + 6)(𝑥 − 3) ≥ 0(2).
𝑥 ≤ −6
(1)
(2)
(решение системы)
Ответ: (−10; −6]; [3; 4).
3. Задания.
№№ 5-8 – для самостоятельной проработки
1) Решите неравенство:
а) 𝑥 2 − 17𝑥 + 16 ≥ 0; б) 49𝑥 2 + 14𝑥 + 1 > 0;
𝑥 2 −6𝑥
в) (𝑥 2 + 4)(𝑥 2 − 4𝑥 + 3) ≥ 0; г) 𝑥 2 −36 ≥ 0.
2
2) Решите систему неравенств: {𝑥 + 𝑥 − 12 ≤ 0,
8 + 2𝑥 ≤ 0.
3) Найдите целые решения системы неравенств:
2
{𝑥 + 5𝑥 − 6 < 0,
𝑥 ≥ −3.
4) Найдите область определения функции:
1
𝑦 = √𝑥 2 + 3𝑥 − 40 − .
𝑥
1
1
5) Решите неравенство:
а) 2x 2 − 9x − 5 < 0; б) −6𝑥 2 + 13𝑥 − 5 ≥ 0;
в) (𝑥 − 5)2 (𝑥 2 − 2𝑥 − 3) > 0; г)
𝑥 2 −4𝑥
𝑥−2
2
≤ 3.
−3𝑥 + 16𝑥 + 12 < 0,
6) Решите систему неравенств: {
𝑥 2 − 11𝑥 < 0.
7) Найдите целые решения системы неравенств:
3𝑥 2 − 5𝑥 ≤ 0,
{
−0,6𝑥 + 1,2 > 0.
8) Найдите область определения функции:
𝑦=
𝑥+2
√3𝑥 − 12𝑥 2
.
Ответы: 1) а) (−∞; 1]; [17; +∞); б) (−∞; − ) ; (− ; +∞); в) (−∞; 1]; [4; +∞); г) (−∞; −6); [0; 6); (6; +∞); 2) –4; 3) –3; –2; –1; 0;
7
7
4) 𝐷(𝑓) = (−∞: −8] ∪ [5; +∞).