Решение некоторых иррациональных неравенств. Прошу

Решение некоторых иррациональных неравенств.
Прошу обратить внимание, что данные задачи относятся к задачам
высокого уровня сложности. Они требуют не только хорошего владения
математическим материалом, но и развитой на решении более простых задач
интуиции. Нет единого метода решения. Нужно смотреть на условие,
анализировать вид выражений и искать для каждой задачи свой подход. Методы
известные
–
разложение
на
множители,
выделение полного
квадрата,
обобщенный метод интервалов. Применяются же они хитро.
На мой взгляд, они представляют интерес для всех, кто хочет развивать
мышление. Однако, до экзамена осталось очень мало времени, Поэтому учиться
решать такие задачи сейчас имеет смысл только тем из вас, кто спокойно и
надежно решает задания 1-15 и 19 из вариантов ЕГЭ (№№ 16 и 18 также нужны,
но это геометрические задачи, не имеющие отношения к данной теме).
Остальным
стоит
отложить
данную
тему
до
лучших
(послеэкзаменационных) времен. Тем не менее, поскольку вопросы были заданы,
а попытки найти решения вашими силами с моими намеками не привели к
результатам, я решила записать решения данных задач, но не до конца, а до
момента получения стандартных задач. Разбирать на уроках (кроме физмат
группы) эти решения я не буду. Если все же что-то непонятно, распечатайте их,
пометьте неясные места и принесите бумажку с собой. На конкретные вопросы я
готова ответить в индивидуальном порядке.
1
log 2 ( x 2  8 x  6)  2  log 2 (2 x  1)
2
Решение. Упрощаем правую часть и используем свойство возрастания
логарифмической функции по основанию 2 на множестве положительных чисел:
 x  0,5,
 2
 x  8 x  6  4 2 x  1
Работаем со вторым неравенством. Возведение в квадрат ни к чему хорошему не
приводит. Попробуем получить в обеих частях квадраты. Заметим, что правую
часть можно рассматривать как удвоенное произведение числа 2 и 2 x  1 (или
числа 1 и 2 2 x  1 ). Попробуем первый вариант:
2 
2x  1

2
 4  4 2x 1  2x 1  4 2x 1  2x  3 .
Поэтому если к правой части прибавить 2 x  3 , там получится полный квадрат.
Но тогда нужно прибавить 2 x  3 и к левой части. Что получится там?
x 2  8 x  6  2 x  3  x 2  6 x  9   x  3 .
2
Вообще говоря, дальше вы можете решить и сами.
Итак, наше неравенство имеет вид  x  3   2  2 x  1 .
2
2
Далее без комментариев
 x  3
2

 2  2x 1
 x  3  2 
x 5

2
0
  x  3   2  2 x  1   0
2 x  1  x  1  2 x  1   0
2x  1
Вообще говоря, вы вполне в состоянии найти нули функции в левой части и
решить неравенство методом интервалов. Правда, для этого вам придется
решить два несложных иррациональных уравнения
x  5  2x  1 и 1  x  2x  1 .
При этом важно не забыть при возведении в квадрат записать и в дальнейшем
учесть условия x  5  0 для первого и 1  x  0 для второго. Кстати, обратите
внимание, что в обоих случаях неравенство x  0,5 из первой системы нашего
решения выполняется автоматически (почему?)
В общем сложная, муторная, но стандартная задача.
Ответ: (0,5; 2  2 ]  [6  10 ;  ).
Как вы должны были заметить, решить это неравенство нам удалось благодаря
выделению полных квадратов, на которые в условии был лишь легкий намек.
Еще одно иррациональное неравенство. И совсем другой подход к решению.
6  3x  2 x 2  5 x  2
3x  2 x 2  5 x  2

1 x
.
x
Решение. Во-первых, это неравенство можно существенно упростить, разделив
почленно в обеих частях числитель на знаменатель.

6  3x  2 x 2  5 x  2
3x  2 x 2  5 x  2
6
3x  2 x  5 x  2
6

  1 x
x
3x  2 x 2  5 x  2
3x  2 x  5 x  2
1
1  1
x
3x  2 x 2  5 x  2
2
2

1 x

x x
Прибавим 1 к обеим частям
6
3x  2 x  5 x  2
2


1
x
6 x  3x  2 x 2  5 x  2

x 3x  2 x 2  5 x  2
3x  2 x 2  5 x  2

x 3x  2 x 2  5 x  2


 0
0
А теперь введем новую переменную z  2 x2  5x  2  0 , но старую через нее
выражать не будем, так как это крайне сложно. Нам придется решать
3x  z
неравенство с двумя переменными
 0,
x  3x  z 
z
3  0.
z

x x  
3

x
Так как мы не умеем решать неравенства с двумя переменными, нам придется
рассмотреть одну из них (z) как параметр. К счастью, нам известно, что
значения параметра неотрицательные. Поэтому достаточно рассмотреть 2
случая.
1) При z  0 неравенство принимает вид
x
 0 . То есть x  0 . Получаем
x2
2

2 x 2  5 x  2  0,
систему  2 x  5 x  2  0, 
.
x  0
 x  0
1
2
Тогда x  2, x  .
z
3  0 методом интервалов. Это
2) При z  0 решаем неравенство
z

x x  
3

x
возможно. Так как функция
z
3
определена и непрерывна при
f  x 
z

x x  
3

x
всех действительных значениях аргумента, кроме двух –
x  0, x 
z
.
3
Так как z  0 , нам известно, в каком порядке расположены нули
z
3
знаменателя и числителя на числовой прямой (– ; 0;
z
). Рисунок
3
сделайте сами (не хочу на компе возиться).
z
z
Решением неравенства являются интервалы   ;0  ,  ;   . Иначе говоря,
 3
 3

z
z
  x  0 или x  .
3
3
Возвращаемся к переменной х.

2 x 2  5x  2
 x0
3
 2 x 2  5 x  2  3x

 x  0
или
(1)
x
2 x 2  5x  2
3
3x  2 x 2  5 x  2
(2)
Так как 3x  0 , неравенство (1) можно возвести в квадрат и получить
равносильную систему. Неравенство (2) также можно возвести в кадрат, не
теряя при этом условий 2 x 2  5 x  2  0 и x  0 .
2 x  5 x  2  9 x

x  0
2
2
или
9 x 2  2 x 2  5 x  2
 2
2 x  5 x  2  0
x  0

Далее решаете вы.
Не забудьте о результатах первого случая (выделены желтым фоном).
Ответ:  1;0     ;    2;   .
 7 2
2 1
Этими двумя способами не ограничиваются подходы к решению
различных иррациональных уравнений и неравенств. Это – всего
лишь примеры, а не полная теория решений.
Буду благодарна за сообщения о найденных опечатках и ошибках.