лаб раб ряды фурье

Лабораторная работа Ряды Фурье
1 На отрезке   ;  разложить в ряд Фурье а) по косинусам, б) по синусам
функции. Нарисовать в обоих случаях графики суммы рядов для n  1, 2.
Исследовать сходимость полученных рядов.
1.1 f  x  = 4x + 6.
1.2 f  x  = 6x – 3.
1.3 f  x  = 2x + 8.
1.4 f  x  = – x + 2.
1.5 f  x  = 3x + 5.
1.6 f  x  = – x + 1.
1.7 f  x  = 4 x + 3.
1.8 f  x  = 9 x + 4.
1.9 f  x  = 5x + 5.
1.10 f  x  = 2 x + 7.
1.11 f  x  = 3x + 6.
1.12 f  x  = 7x – 6.
2 На отрезке  1;1 разложить в ряд Фурье функции. Исследовать сходимость
полученных рядов.
2.1 f  x  = 2│x│– 3.
2.2 f  x  = 2│x│+ 1.
2.3 f  x  = │x│– 5.
2.4 f  x  = –3│x│+ 2.
2.5 f  x  = 4│x│+ 8.
2.6 f  x  = –│x│– 6.
2.7 f  x  = –5│x│+ 1.
2.8 f  x  = –2│x│– 4.
2.9 f  x  = 3│x│+ 7.
2.10 f  x  = –2│x│+ 5.
2.11 f  x  = 7│x│– 1.
2.12 f  x  = │x│+ 9.
3 Разложить в ряд Фурье на отрезке   ;  функции ,нарисовать графики суммы
рядов для n  1, 2, 3, указать промежутки в которых сумма ряда Фурье равна
f  x  и найти сумму ряда в точке x  0 .
3.1
1  x ,   x  0,
f  x = 
1, 0  x   .
3.3
2  x,    x  0,
f  x = 
1, 0  x   .
3.5
 x,   x  0,
f  x = 
2, 0  x   .
3.7
 x  3,   x  0,
f  x = 
7, 0  x   .
3.2
1  2 x ,    x  0,
f  x = 
1, 0  x   .
3.4
1  2 x,    x  0,
f  x = 
0, 0  x   .
3.6
5  2 x,   x  0,
f  x = 
1, 0  x   .
3.8
4  x,   x  0,
f  x = 
3, 0  x   .
3.9
1  2 x ,   x  0,
f  x = 
1, 0  x   .
3.11
3,   x  0,
f  x = 
1  2 x, 0  x   .
3.10
3  x,   x  0,
f  x = 
2, 0  x   .
3.12
5 x  1,   x  0,
f  x = 
1, 0  x   .
4 Разные задачи
4 .1 Функция f ( x) удовлетворяет условию f ( x   )  f ( x) . Доказать, что все её
нечетные коэффициенты Фурье равны нулю, если f ( x) непрерывна.

1
1
4.2 Является ли ряд  cos nx  2 sin nx рядом Фурье некоторой функции f ( x) ?
n
n 1 n
4.3 Функция f ( x) удовлетворяет условию f ( x   )   f ( x) . Доказать, что все её
четные коэффициенты Фурье равны нулю, если f ( x) непрерывна.

1
(cos nx  sin nx) рядом Фурье некоторой функции f ( x) ?
4.4 Является ли 
n
ln
n
n 1
4.5 Непрерывная функция f ( x) является четной и f ( x   )   f ( x) . Доказать,
что b1  b2  ...  0, a0  a1  a2  ...  0 .

1
1
4.6 Является ли 
sin nx  cos nx рядом Фурье некоторой функции f ( x) ?
n
n
n 1
4.7 Непрерывная функция f ( x) является нечетной и f ( x   )   f ( x) . Доказать,
что b2  b4  ...  0, a0  a1  a2  ...  0 .
4.8 Является ли

  1
n
(cos nx  sin nx) n рядом Фурье некоторой функции
n 1
f ( x) ?
4.9 Что можно сказать о функции f ( x) , если её все коэффициенты Фурье равны
единице?

1
1
4.10 Является ли  n cos nx  n sin nx рядом Фурье некоторой функции f ( x) ?
3
n 1 2
4.11 Как связаны между собой коэффициенты Фурье функций  ( x) и  ( x) , если
 (  x )   ( x) ?

1
(cos nx  sin nx) рядом Фурье некоторой функции f ( x) ?
4.12 Является ли  2
n
ln
n
n 1