Образец тезисов СНТК БНТУ 2013

Студенческая научно-техническая конференция - 2012
БНТУ, кафедра «Высшая математика №3»
Обобщенное уравнение замкнутости.
Гоцко К.О. (110410)
Руководитель: Крушевский Е.А.
Пусть даны две функции f(x) и  (х), интегрируемые в промежутке [ ,  ] с квадратами.
Тогда функции f +  , f –  ,также будут интегрируемы с квадратами. Если обозначить,
соответственно, через a m , bm ,  m ,  m коэффициенты Фурье функций f,  , то для функции f  
очевидно, коэффициентами Фурье будут a m   m , bm   m .
Применив уравнение замкнутости порознь к функциям f+  , f –  , получим:
а 0   0  
2


2
2
2
 am   m   bm   m    1   f   dx
m 1

и
а 0   0  
2


(1)
2
2
2
 am   m   bm   m    1   f   dx .
m 1

Если почленно вычесть эти два равенства одно из другого, то, принимая во внимание
тождество
a  b 2  a  b 2  4ab
придем к обобщенному уравнению замкнутости

a0 0 
1
  a m m  bm m    f  x x dx .
2
 
m 1
(2)
Обычное уравнение замкнутости (равенство Парсеваля) получается отсюда при f=  .
Эту общую формулу также называют формулой Парсе валя.
Обобщенное уравнение замкнутости (22) теснейшим образом связано с вопросом о
почленном интегрировании рядов Фурье. Подставляя вместо коэффициентов  m , m их


интегральные выражения:  m  1  ( x)cos mx dx,  m  1  ( x)sin mx dx , m  0,1,2,... .
 
 
перепишем равенство (2) в виде


 
a0

(
x
)
dx

(
a
cos
mx

b
sin
mx
)

(
x
)
dx

 m
 2
 f ( x)(x)dx
m
m 1 


Отсюда ясно, что упомянутое равенство совершенно равносильно утверждению: ряд
Фурье функции f(x) (интегрируемой с квадратом) по умножении всех его членов на
произвольную функцию  (х) (также интегрируемую с квадратом) можно в промежутке от
,  интегрировать почленно (в том смысле, что в результате этого получится интеграл от
произведения обеих функций!).
Конечно, промежуток [ ,  ] здесь может быть заменен любой его частью [х', х"], ибо
это попросту сводится к замене, скажем, функции  другой функцией, которая совпадает с ср в
промежутке [х', х"] и равна нулю вне этого промежутка.
Формулу (2) можно доказать и при несимметричных условиях, налагаемых на f и  ,
облегчая эти условия для одной из функций, но зато отягчая их для другой. Так, Юнгом была
высказана следующая теорема: формула (2) имеет место в предположении, что функция f (х)
абсолютно интегрируема в промежутке [ ,  ], а функция  (х) имеет ограниченное
изменение.
Доказательство опирается на одно свойство частичных сумм  n ( x) ряда Фурье функции
 (х): эти суммы равномерно ограничены, т. е. для   х   и п = 1, 2, 3, ...,
 n (x)  L
(L  const)
Не умаляя общности рассуждений, можно предположить, что точки разрыва функции
 (х) все являются регулярными, так что всегда
( x) 
( x  0)  ( x  0)
.
2
В таком случае по теореме Дирихле – Жор дана будем иметь для всех значений х
lim  n  x   x
n
и одновременно
lim f (x) n ( x)  f ( x)( x).
n
Если f (х) ограничена
f ( x)  M
(M  const)
и
f (x) n (x)  ML
(n  0,1,2,....) ,
то по теореме А р ц е л а заключаем, что


n 

lim  f ( x) n ( x)dx   f ( x)( x)dx
(3)
Справедливость этого равенства может быть установлена и для случая неограниченной
(но абсолютно интегрируема) функции f (х). Пусть ее единственной особой точкой будет х   .
Тогда сначала по заданному   0 возьмем   0 так, чтобы было

 f ( x) dx  

вместе с этим будут выполняться и неравенства (для любых n)




 f ( x)( x)dx  L ,
 f ( x) n ( x)dx  L .
В промежутке же [ ;    ], где функция f(х) ограничена, имеем аналогично (3):




lim  f ( x) n ( x)dx   f ( x)( x)dx .
n
Отсюда уже легко получается и само равенство (3). Доказанное равенство есть лишь
другая форма записи для формулы (2), т.к.


n
n
1 f ( x) ( x)dx  1 f ( x)   0   cos mx   sin mxdx  a0 0  (a   b  ) .




n
m
m
m m
m m
2

 
 
2


m 1
m 1
Обобщенное уравнение замкнутости, установленное при иных условиях, чем раньше,
снова может быть перефразировано, как утверждение, относящееся к почленному
интегрированию ряда Фурье (и притом в двух различных формулировках в связи с
несимметричностью условий, налагаемых здесь на функции f и  ).
Рассмотрим пример: f (x) 

0, x  ;0
x, x  0; 

2 
Разложим в ряд Фурье: a0  1  xdx  1  x   ,
0
 2 0 2


 




(1) n1

a n  1  x cos nxdx  1 1 x sin nx  12 cos nx  1  12 cos n 
,
0  n
0
 n
n
n 2
(1) n1

bn  1  x sin nxdx  1  1 x cos nx  12 sin nx   1 cos n 
.
0
0
 n
n
n
n



Итак, f ( x)     (1) n1  1 2 cos nx  1 sin nx  .
4 1
n
 n

Возьмем теперь ( x) 

x, x  ;0
. Разложим в ряд Фурье и эту функцию:
0, x  0; , т.е. f   0
2 0
(1) n1
 0  1  ( x)dx  1   x    ,  n  1  ( x)cos nxdx  (замена  x  t )   1  t cos nt dt  a n 
,
 
  2   2
 

n 2
0
0
0
(1) n
 n  1  ( x)sin nxdx  (замена  x  t )   1  ( sin nx)dx  bn 
.
 

n
0
0



Итак, ( x)     (1) n1  1 2 cos nx  1 sin nx  .
4 1
n
 n

 
2


2


1
Проверим выполнение равенства Парсеваля:
  2    12   0 .
8
  n 
n 

2
2
Отсюда 12  14   12    , или  12  12  14   . С другой стороны известно, что
8
8

n
n
n

n
2
2
4
 12  6 , отсюда получаем 12  14  24 ,  14  24 .
n

n
n
Литература.
1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3.