Интеграл Фурье Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Лектор Пахомова Е.Г.

Математический анализ
Раздел: Числовые и функциональные ряды
Тема:
Интеграл Фурье
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§24. Интеграл Фурье
Представление функции интегралом Фурье – разложение непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений.
1. Действительная и комплексная формы
записи интеграла Фурье.
Пусть f(x) – непериодическая, определенная на ℝ .
Пусть выполняются условия:
1) f(x) удовлетворяет условиям Дирихле или кусочно-гладкая на
[–ℓ ; ℓ], ℓ > 0 .
2) f(x) абсолютно интегрируемая на всей числовой оси,
т.е. сходится (в смысле главного значения) интеграл

 f ( x) dx

Фиксируем ℓ > 0 и запишем на [–ℓ ; ℓ] ряд Фурье для f(x):
a0 
  an cosn x  bn sin n x .
2 n 1
Рассмотрим
 a0 

J ( x)  lim    an cosn x  bn sin n x  .
   2
n 1


Получим
J ( x) 
1



 d  f (t ) cos (t  x)dt .
0

Интеграл (1) называется двойным интегралом Фурье.
(1)
Интеграл (1) можно привести к виду

J ( x) 
 A( ) cos x  B( ) sin  xd ,
(2)
0
где
A( ) 
B( ) 
1

1


 f (t ) cos tdt ,


 f (t ) sin  tdt .

Интеграл (2) называется интегралом Фурье.
(3)
ТЕОРЕМА 1 (о представлении функции интегралом Фурье).
Пусть f(x) определена на ℝ и удовлетворяет условиям:
1) f(x) абсолютно интегрируема на ℝ;
2) f(x) удовлетворяет условиям Дирихле или кусочно-гладкая
на любом отрезке [–ℓ ; ℓ].
Тогда функция f(x) представима своим интегралом Фурье,
т.е. ее интеграл Фурье J(x) сходится в каждой точке xℝ
и справедливо равенство
а) J(x) = f(x), если x – точка непрерывности f(x);
f ( x  0)  f ( x  0)
б) J ( x) 
, если x – точка разрыва f(x).
2
ПРИМЕР. Представить в виде интеграла Фурье функцию
 0, при x  0

f ( x )   x , при 0  x  1
 0, при x  1
Более компактной формой записи интеграла Фурье является его
комплексная форма:

J ( x) 
i x
C
(

)
e
d .

(4)

где



A( )  iB ( )
1 
 i t
.
C ( ) 

f
(
t
)
e
dt

2
2  


(5)
2. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) удовлетворяет условиям теоремы 1.
а) Пусть f(x) – четная.

J ( x)   A( ) cos xd ,
Тогда ее интеграл Фурье:
0
где
б) Пусть f(x) – нечетная.
Тогда ее интеграл Фурье:
A( ) 
2


 f (t ) cos tdt .
0

J ( x) 
 B( ) sin  xd ,
0
где
B( ) 
2


 f (t ) sin  tdt .
0
3. Представление интегралом Фурье функций,
заданных на [0 ; + )
Пусть f(x) задана на [0 ; + ) и удовлетворяет условиям:
1) f(x) абсолютно интегрируема на [0 ; + ) ;
2) f(x) удовлетворяет условиям Дирихле или кусочно-гладкая
на любом отрезке [0 ; ℓ].
Доопределим f(x) на (–  ; 0) (четным или нечетным образом).
Получившаяся функция F(x) представима интегралом Фурье.
Интеграл Фурье для F(x), рассматриваемый только на [0 ; + ) ,
называют интегралом Фурье функции f(x) на [0 ; + ) .