НЕКОТОРЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ

УДК 517.518.45 (06)
НЕКОТОРЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Т.В. Ермакова
Данная работа посвящена возможностям применения рядов Фурье к решению некоторых
задач изгиба балок. Рассмотрен один из примеров статически неопределимой балки.
изгиб балки, изгибающий момент, прогиб, угол поворота поперечного сечения, ряд Фурье
ВВЕДЕНИЕ
Как
известно,
при
проектировании
различных
конструкций
осуществляется расчет их элементов на прочность, жесткость и устойчивость.
Классические методы сопротивления материалов позволяют осуществить эти
расчеты в конкретных прикладных задачах. Однако, с точки зрения как
теоретических исследований, так и
разработки новых методов расчетов,
целесообразно в решении задач сопротивления материалов более широко
использовать возможности математического аппарата.
Такую возможность, в частности,
дает применение рядов Фурье.
Разложения в ряд Фурье широко применяются, например, в исследованиях
колебательных процессов и систем различной природы.
Целью данной работы является рассмотрение на базе рядов Фурье
некоторых задач теории изгиба балок.
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МЕТОДЫ И МАТЕРИАЛЫ ТЕОРИИ РЯДОВ
Как известно, ряд Фурье функции f x , удовлетворяющей условиям
Дирихле на промежутке  l; l  , представляет собой разложение этой функции в
тригонометрический ряд по ортогональной системе


 
 
 2 
 2 
1, sin   x , cos  x , sin   x , cos  x  , ,
l 
l 
 l

 l



сходящийся к функции f x в точках ее непрерывности.
В общем случае ряд Фурье функции f x , заданной на промежутке
 l; l  , содержит как синусы, так и косинусы.
В частных случаях ряд Фурье может содержать только синусы или только
свободный член и косинусы.
Так, если функция f x на промежутке  l; l  является нечетной, то ее
разложение в ряд Фурье содержит только синусы:
f x  

  k 
 x
l

 bk  sin 
k 1
1
,
где
l
2
  k 
bk   f x  sin 
 x   dx
l
 l


k
 1, 2, 3,  .
2
0
Использование рядов Фурье для решения задач статики упругих тел
проводится в следующем порядке ([1]).
Сначала, из физических соображений следует получить соотношение,
которое связывает функцию состояния деформированного тела (описывающую
его геометрическое состояние) с приложенными к этому телу нагрузками. Это
соотношение далее будем называть уравнением состояния. В уравнение
состояния, в общем случае, входят как функция состояния, так и ее производные,
и некоторые интегральные характеристики.
Далее, с учетом геометрических очертаний тела и кинематических
ограничений на его перемещения, выбирается ортогональная система функций, по
которой функция состояния разлагается в ряд Фурье. Отметим, что на данном
этапе решения задачи
значения коэффициентов ряда Фурье являются
неизвестными величинами, поскольку для их непосредственного вычисления
(например, по формуле (2)) нужно знать функцию состояния, которая сама
является искомой. Таким образом, задача сводится к нахождению коэффициентов
разложения функции состояния в ряд Фурье.
С этой целью разложение функции состояния ряд Фурье (с неизвестными
пока коэффициентами) подставляют в уравнение состояния. В результате
получаем тождественное равенство двух рядов Фурье, от которого можно перейти
к равенству соответствующих коэффициентов. Из этих равенств и вычисляются
неизвестные коэффициенты ряда Фурье функции состояния. В результате
получаем искомую функцию состояния деформированного тела в виде суммы
ряда Фурье (в точках непрерывности этой функции).
Отметим здесь следующее. При подстановке функции состояния — в виде
ряда Фурье с неизвестными коэффициентами — в уравнение состояния нужно
несколько раз почленно дифференцировать ряд Фурье с еще не определенными
коэффициентами. Но, как известно из общей теории рядов, чтобы

дифференцирование некоторого сходящегося функционального ряда
 f n x 
n 1

было
допустимо,
требуется
равномерная
сходимость
ряда
 f n ' x  ,
n 1
составленного из производных членов исходного ряда.
Проверить выполнение этого условия заранее, т.е. до подстановки
функции состояния в виде ряда Фурье
(с еще не определенными
коэффициентами) в уравнение состояния, достаточно трудно.
Поэтому при решении практических задач изначально предполагается, что
записанный ряд Фурье (с еще неизвестными коэффициентами) функции
состояния можно дифференцировать нужное число раз, а уже затем, после
нахождения коэффициентов Фурье, проверяется, является ли полученный ряд
почленно дифференцируемым. Если полученный ряд Фурье является почленно
дифференцируемым, то все ранее выполненные с ним действия
дифференцирования являются корректными, и этот ряд Фурье является искомым
рядом, т.е. представляет искомую функцию состояния. В противном случае
полученный результат будет математически необоснован (хотя и может быть
верным), и тогда потребуются более глубокие исследования.
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ МЕТОДЫ И МАТЕРИАЛЫ ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛКИ
Здесь и далее балкой будем называть достаточно жесткое и тонкое
прямолинейное тело, т.е. полагаем: поперечные размеры балки и перемещения ее
точек под действием приложенных усилий достаточно малы по сравнению с ее
длиной, и отклонением формы балки от прямолинейного отрезка можно
пренебречь.
Пусть балка длины l находится под действием некоторой нагрузки
R . Введем систему координат Oxv так, что балка расположена между
x0 и
x  l ; обозначим
точками
v x  вертикальное перемещение
x (функция прогиба балки), и будем считать
точки балки с абсциссой
положительным на оси Ov направление вниз (рис.1). Рассмотрим случай
плоского изгиба балки (т.е. все усилия, приложенные к балке, действуют в
плоскости Oxv ).
0
l
x
v
Рис. 1
x балки,
Обозначим
M R x  изгибающий момент в сечении
вызванный нагрузкой R (и реакциями опор, порожденными этой нагрузкой).
Рассмотрим деформации балки под действием приложенной изгибающей
нагрузки.
Будем считать, как это обычно принимается в теории изгиба
призматических балок, что каждое поперечное сечение балки после приложения к
ней изгибающей нагрузки остается плоским и поворачивается около оси
  угол поворота поперечного
изгибающего момента на некоторый угол
сечения.
Тогда, как известно из курса сопротивления материалов (см., например, [2]
и [3]), функция прогиба балки v x связана с действующим в балке
R ,
изгибающим
моментом
порожденным
нагрузкой
M x ,
дифференциальным уравнением
d 2vx
dx
2
 
M x 
EI
3
,
где E  модуль Юнга материала балки, I  момент инерции ее
поперечного сечения относительно горизонтальной прямой, лежащей в плоскости
сечения и проходящей через его центр тяжести. При этом уравнение (3) не
зависит от структуры приложенной к балке нагрузки R .
Кроме того, для жесткой балки можно считать производную функции
прогиба по длине балки равной углу поворота поперечного сечения балки:
dvx 
  x 
dx
4
.
Уравнения (3) и (4) будем считать основными уравнениями состояния,
определяющими геометрическое состояние балки под действием приложенных
нагрузок.
Далее рассмотрим решение этих уравнений на базе рядов Фурье, в
соответствии с изложенным выше подходом, для конкретных случаев
закрепления и нагружения балки.
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ИЗГИБА БАЛКИ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЯДОВ ФУРЬЕ
l , находящуюся под действием некоторой
Рассмотрим балку длины
нагрузки и закрепленную таким образом, что на ее концах вертикальные
смещения и изгибающие моменты равны нулю (далее такую балку будем
называть свободно опертой по концам):
v0  vl   0 ; M 0  M l   0
.
5
Выберем функцию прогиба v x в качестве функции состояния балки и
представим ее рядом Фурье. Можно показать (см., например, [1]), что
изгибающий момент M x и соответствующая функция прогиба
v x в
x . Поэтому будем
данной балке являются нечетными функциями
рассматривать разложение функции v x на промежутке 0 ; l  в ряд Фурье по
синусам (см. формулы (1) – (2)), т.е. в виде
vx 

  k 
 x
l

 bk  sin 
k 1
.
6
R , которая в каждой точке
Пусть на балку действует нагрузка
x балки порождает изгибающий момент M x . Так же, как и функцию
v x , разложим момент M x на промежутке 0 ; l  в ряд Фурье по синусам:

  k 
 x
l

 mk  sin 
M x  
k 1
7
.
Продифференцировав дважды ряд (6) и подставив полученный ряд вместе
с рядом (7) соответственно в левую и правую части дифференциального
уравнения (3), получим тождественное равенство двух рядов Фурье, из которого,
  k 
 x   k  1, 2, 3,  в левой
приравнивая коэффициенты, стоящие при sin 
 l

и правой частях, получаем:
bk 
l 2 mk


 2 E  I n2
k
1
 1, 2, 3,  .
С учетом формул (8) ряд Фурье (6) функции прогиба
8
v x принимает
вид

l2
mk
  k 
vx 


 sin 
 x
2 EI
2
l



n
k 1

1
9
.
При этом содержащиеся в формулах (7) – (8) коэффициенты
mk разложения в ряд Фурье изгибающего момента M x определяются по
формуле (2) (или методами практического гармонического анализа).
В частности, изложенный метод позволяет получить следующие
результаты ([1]):
 в случае сосредоточенной нагрузки (в точке
приложена вертикальная сила P , направленная вниз):

P  l3
1
  k 
  k 
vP x 



sin

c

sin
 x



 l

 l

 4 E  I k 1 k 4
2


 в случае сосредоточенного момента (в точке
приложен сосредоточенный момент величины M ):
10
;
11
x  c балки

M  l2
1
  k 
  k 
vM x 



cos

c

sin
 x



 l

 l

 3 E  I k 1 k3
2
;

P  l2
1
  k 
  k 
 P x  


 sin 
 c   cos 
 x
3 EI
3
 l

 l


k 1 k
2
x  c балки

;
12

M l
1
  k 
  k 
 M x  



cos

c

cos
 x



 l

 l

 2 E  I k 1 k 2

2
.
13
Нетрудно убедиться, что ряды (10) – (13) являются равномерно
сходящимися, так как для них выполняется признак Вейерштрасса равномерной
сходимости функционального ряда. Следовательно, в соответствии с
изложенными выше условиями правомерности использования рядов Фурье, ряды
(10) – (13) действительно представляют собой искомые функции прогиба и угла
поворота поперечного сечения.
На основе полученных результатов рассмотрим более подробно
следующую, статически неопределимую задачу.
l жестко заделана левым концом, а правым
Пусть балка длины
находится на шарнирно-подвижной опоре, и нагружена посередине вертикальной
силой P , направленной вниз (см. рис.2).
P
0
l
2
°
l
2
x
Рис. 2
В данном случае имеем статически неопределимую задачу: равновесие
балки не нарушится, если одну из наложенных четырех связей отбросить, введя в
жесткой заделке шарнир или отбросив шарнирно-подвижную опору.
Введем в жесткой заделке шарнир.
Тогда согласно (11) (где следует принять
балки в точке
x  0 под действием нагрузки
 P 0 
2


3

l
) угол поворота сечения
2
P будет равен
c

 1k 1
P  l2
1
2 P  l2
  k 


sin





E  I k 1 k3
 2 
 3 E  I k  1 2k  13


. 14
Если теперь в точке с  0 к этой балке приложить сосредоточенный
изгибающий момент M , то, согласно (13), угол поворота сечения в точке
x  0 под действием этого момента будет равен

M l
1
M 0 


2 EI
2

k 1 k
2

.
Так как по условию балка жестко заделана левым концом, то
15
P0  M 0  0 .
16
Подставляя выражения (14) и (15) , для P 0 и M 0 , в равенство
(16), получаем:

M 
1

 P l 
 1k 1

3
k  1 2k  1


17
.
1
k 1 k
2
Просуммируем ряды, стоящие в числителе и знаменателе дроби (17):

 1k 1

3
k  1 2k  1

3
32


;
1
2
k 1 k

2
6
.
Тогда окончательно получаем:
3  2 
   3  P l .
 P l  :
18



32
6
16


Теперь,
чтобы
определить
искомую
функцию
прогиба vx рассматриваемой статически неопределимой балки, нужно сложить
функцию прогиба vPx балки, загруженной посередине сосредоточенной силой
P , и функцию прогиба vM x балки с сосредоточенным моментом M ,
приложенным к ее левому концу.
Тогда, используя формулы (10) и (12) и найденное выражение (18) для
момента M , получаем:
M 
1



P  l3
 1k 1
3
P  l3
1
  k 
  k 
vx  4 

 sin 
 x 


 sin 
 x 
4
3
3
 l
 8   E  I k 1 k
 l

 E  I k 1 k

2


P  l3
3 
 16
  k 



 x
 4   1k 1  3   sin 
4 EI
l


8 
k
k


k 1

1
.
19
Если теперь дважды продифференцировать ряд (19), то из уравнения (3)
можно определить изгибающий момент M x :
M x  

1
8 
2
 P l 
 16
  k 2   1k 1 
k 1
3 
  k 
 x
  sin 
k 
 l

. 20
Отметим здесь, что ряд Фурье (20) функции
M x сходится к
M x только в точках ее непрерывности на промежутке разложения, т.е. в
данном случае на промежутке 0 ; l  ; в точках разрыва и на границах
промежутка разложения значения функции M x и суммы S x ряда Фурье
могут не совпадать. Так, в точке x  0 сумма ряда S0  0 , а значение
3 P l
момента M 0  
.
16
Итак, мы получили решение одной из статически неопределимых задач
изгиба балки с использованием не типичного для таких задач метода разложений
в ряд Фурье.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение отметим, что изложенный в данной работе подход к
решению задач изгиба балки позволяет решать и задачи сложного изгиба балки (в
случае, например, когда к балке на ее концах приложены еще и продольные
силы). Кроме того, дополнительные возможности для составления уравнений
состояния балки дает использование потенциальной энергии изгиба. Этот
энергетический метод является очень перспективным для использования не
только в теории изгиба балок и будет рассмотрен в дальнейших работах.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Воробьев Н.Н. Теория рядов. – изд. 6 – е. – СПб., 2002. – 408 с.
2. Бородин Н.А. Сопротивление материалов. – изд. 2 – е. – М., 2001. – 288 с.
3. Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и
пластичности. Основы теории с примерами расчетов. – изд. 3 – е. – М., 2002. – 286 с.
SOME POSSIBILITIES OF FOURIER SERIES APPLICATION FOR
SOLUTION OF MATERIAL RESISTANCE PROBLEMS
T.V. Ermakova
The article is dealing with the possibilities of Fourier series application for solution of some
problems of beam bend. The example of statically undefinable beam is considered.
bend of beam, bending moment, sagging, angle of cross-section rotation, Fourier series