Свойства преобразования Фурье

Ряд Фурье и
интеграл Фурье
Презентация лекции по курсу «Общая теория связи»
© Д.т.н., проф. Васюков В.Н., vasyukov@edu.nstu.ru
Новосибирский государственный технический
университет, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Факультет Радиотехники и электроники
Кафедра теоретических основ радиотехники
Не в совокупности ищи
единства, но более –
в единообразии разделения.
Козьма Прутков.
Мысли и афоризмы, № 81
2
Ряд Фурье, его формы, свойства спектров
Базис
 1 j 2 kt

T , k  , 
e


 T

полон для пространства
x(t )  L2 (T )
1
k 
T
L2 (T )
x(t ) 

 k
k 
T /2

x(t )e
j
1
e
T
j
2
kt
T
2
kt
T dt
T /2
3
Ряд Фурье, его формы, свойства спектров
x(t )  L2 (T )
x(t ) 

 Ck e
j
2
kt
T
k 
T /2
1
Ck 

T T /2
2
 j kt
x(t )e T dt
Равенство Парсеваля
T /2

T /2
2
x(t ) dt 


k 
T /2
k
2

T /2
2
x(t ) dt  T


k 
Ck
4
2
Ряд Фурье, его формы, свойства спектров
Базисные функции
 j 2 kt

e T , k  ,  


t   T / 2, T / 2
при
1
1
0.5
Re( x( t ) )
Im( x( t ) )
 0.4
 0.2
0
0.2
0.4
 0.5
1
1
 0.5
t
111
11
Re( x( t ) )
Re( x( t ) )
Im( x( t ) )
Im( x( t ) )
0.5
0.5
0.5
0.5
0.4
 0.4
 0.4
0.2
0.2
 0.2
00
0.5
0.5
0
0.2
0.2
0.2
0.40.4
0.4
 0.5
1
1
11
1
 0.5
0.5
 0.5
tt
t
0.50.5
0.5
5
Ряд Фурье, его формы, свойства спектров
Базисные функции
T
 j 2 kt

e T , k  ,  



при t  , 
периодичны

представляет собой наименьшее общее кратное их периодов
x(t )
t
Ряд Фурье представляет сигнал на конечном интервале и его
периодическое продолжение на всей оси
t  , 


При этом спектральные коэффициенты находятся по тем же
формулам!
6
Комплексный ряд Фурье
x(t ) 

 Ck
2
j kt
e T
k 
в общем случае комплексные
T /2
1
Ck 
x(t )e

T T /2
j
2
kt
T dt
Ck  Ck e jk
 Ck , k  , 
k , k  , 
амплитудный спектр
фазовый спектр
7
Комплексный ряд Фурье вещественного сигнала
амплитудный спектр чётный
Сигнал вещественный
фазовый спектр нечётный
x (t )  x(t )
*
T /2
C k
1

T T/ 2
2
j kt
x(t )e T dt
1

T 
 T / 2
T /2
С k  Ck
*
2
 j kt 
x* (t )e T dt 


 Ck*
*
8
Тригонометрические формы ряда Фурье
Просуммируем пару
Ck
2
j kt
e T
 Ck e
jk
e
 C k
j
2
kt
T
2
 j kt
e T
 Ck e
 Ck
 jk
e
j
2
j kt
e T
2
kt
T 
2
 j kt
*
 Ck e T

 2

2 Ck cos 
kt  k 
 T

Тогда ряд Фурье можно записать в тригонометрической форме

 2

x(t )   Ak cos 
kt  k ,
 T
  2 C , k  0,
k 0
k
Ak  
 Ak  Ck  C0 , k  0.
9
Тригонометрические формы ряда Фурье

a0
2
2 

x(t )     ak cos
kt  bk sin
kt 
2 k 1 
T
T 
2
 2 
ak 
x(t ) cos 
kt  dt , k  0, 

T T /2
 T 
T /2
2
 2 
bk 
x(t )sin 
kt  dt , k  1, 

T T /2
 T 
T /2
10
Тригонометрические формы ряда Фурье
Сложим пару функций
2
2
ak cos
kt  bk sin
kt 
T
T
 ak
ak 

2
2
j kt
e T
2
 j kt
e T
2
jbk j T kt
e
 bk
2
ak 

2
2
j kt
e T
2
 j kt
e T
2j

2
jbk  j T kt
e
 Ck
2
j kt
e T
 C k
2
 j kt
e T
11
Тригонометрические формы ряда Фурье
ak  jbk
 Ck
2
Отсюда следуют связи
Ck 
Ak 
2
ak
2
ak
ak  jbk
 C k
2
2
 bk
a0
C0 
2
2
2
 bk
a0
A0 
2
bk
k  arctg
ak
сигнал четный – все синусоидальные компоненты равны 0;
сигнал нечетный – все косинусоидальные компоненты равны
нулю (при этом равна нулю и постоянная составляющая)
12
Пример.
2
T /2
 j kt
x(t )e T dt
1
Ck 
T T/2
2

 2 F
T
U и
C0 
U q
T
k  и
sin
1
2
U и
2

U
cos
ktdt

k  и
T  /2
T
T
и
2
 и /2
частота повторения импульсов
q  T и
 скважность импульсной
последовательности
 и
2

огибающая впервые
пересекает ось
абсцисс
f  1 и
Дискреты отстоят друг от друга на
численное
значение
скважности
F 1 T
во сколько раз полуширина
главного лепестка
огибающей спектра больше
шага следования
спектральных составляющих
по оси частот
Аппроксимация сигнала конечной суммой ряда
Фурье
Ошибка аппроксимации

2
T
 N 1

k 
2
Ck  T


k  N 1
Ck
2
T


k 
2
Ck  T
N

k  N
Ck
2
Связь ряда и преобразования Фурье
Рассмотрим импульс (финитный сигнал)
со спектральной плотностью
x(t )
x(t ) 
X(f )


x(t  kT )
k 
T / 2
T /2
Спектр периодического сигнала
T 2
1
Ck 
x(t )e

T T 2
j
2
kt
T dt
1 k
 X 
T T 
f
t
Свойства преобразования Фурье
1. Линейность
 k xk (t )   k X k ( f )
k
k
2. Дуальность (частотно-временная симметрия)
x( f )  X (t )
x(t )
X (t )
X(f )
x( f )
Свойства преобразования Фурье
3. Теорема сдвига (запаздывания)

X ( f ) 
 x(t   )e
 

 x( )e
 j 2 ft
dt 
 j 2 f (  )

x(t   )  e
x (t )  x(t   )
d 
e
 j 2 f 
 j 2 f 
X(f )
X(f )
Свойства преобразования Фурье
xm (t )  x(mt )
4. Теорема масштаба
m0
Xm( f ) 

 x(mt )e

m    0

Xm( f ) 

 j 2 ft
dt


 x( )e

x (   t )e
 j 2 ft

dt 

1  f 
x(mt ) 
X 
m m

 j 2 f
x( )e

m
1  f 
 X 
m m
d
m
 j 2 f




1

 x( )e
 
 j 2 f 
d


 f 
d  X 
    
1
Свойства преобразования Фурье
xd (t )  dx(t ) dt
5. Теорема дифференцирования

dx(t )  j 2 ft
Xd ( f )  
e
dt 
dt

 x(t )e
 j 2 ft 

dx(t )
 j 2 f  X ( f )
dt
 j 2 f


x(t )e  j 2 ft dt

0
x(t )  L2 (, )
6. Теорема интегрирования
1
X (0) ( f )
 x(t )dt  j 2 f X ( f )  2

t
Свойства преобразования Фурье
e
7. Теорема модуляции

 x(t )e
j 2 f0t  j 2 ft
e



dt 
 x(t )e
 j 2 ( f  f 0 )t

x(t )e
j 2 f0t
dt 
 X ( f  f0 )
j 2 f0t
 X ( f  f0 )
Свойства преобразования Фурье
8. Теорема свёртки
x(t )  y (t )  X ( f )Y ( f )
9. Теорема умножения
x(t ) y (t )  X ( f )  Y ( f )



X ( )Y ( f   )d  X ( f )  Y ( f )
Свойства преобразования Фурье
10. Теорема сопряжения
x(t )  X ( f )

 x (t )e
*
 j 2 ft
x (t )  X (  f )
*
*
dt 


*


 j 2 (  f )t
   x(t )e
dt 


 


 X ( f )
*
Свойства преобразования Фурье
11. Теорема обращения

X( f ) 





x(t )e
x _(t )  x(t )
 j 2 ft
dt 


x( )e j 2 f  (d ) 

x( )e j 2 (  f ) d  X ( f )

x(t )  X ( f )
Свойства преобразования Фурье
X ( f )  X * ( f )
Сигнал вещественный
или
X ( f )  X ( f )
arg X ( f )   arg X ( f )
в самом деле:

X(f ) 
 x(t )e

 j 2 ft


j 2 ft
dt    x(t )e
dt  


 

То же следует из т. сопряжения:
x (t )  X (  f )
*
*
*


*


 j 2 (  f )t
   x(t )e
dt 


 

Свойства преобразования Фурье
Сигнал вещественный
или
X ( f )  X * ( f )
Re  X ( f )  Re  X (  f )
Im  X ( f )   Im  X ( f )
Сигнал вещ. четный
x(t )  x( t )
X ( f )  X ( f )
Im  X ( f )  0
Сигнал вещ. нечетный
x(t )   x(t )
X ( f )   X ( f )
Re  X ( f )  0
Спектральные плотности гармонических сигналов
e
j 2 f0t
 L2 (, )
спектральная плотность в
обычном смысле не
существует

j 2 f 0t
j 2 ft

(
f

f
)
e
df

e
0


0
1
cos(2 f 0t )   ( f  f 0 )   ( f  f 0 ) 
2
1
sin(2 f0t )   ( f  f 0 )   ( f  f 0 ) 
2j
f0
f
Балансно-модулированное колебание
x(t )cos(2 f 0t )
X ( f  f0 ) X ( f  f0 )

2
2
1
cos(2 f 0t )   ( f  f 0 )   ( f  f 0 ) 
2

 X ( ) ( f  f0   )d  X ( f  f0 )


 X ( ) ( f  f0   )d  X ( f  f0 )

Спектральные плотности периодических сигналов
Периодический сигнал
x(t ) 

 Ck e
j
2
kt
T
k 
x(t )
t
Спектральная плотность

2 

X ( f )   Ck   f  k

T 

k 
0
1
T
2
T
k
T
f