Примеры кривые 2

Семинар 12. «Кривые 2-го порядка»
1. Общее уравнение кривых второго порядка:
2.
Нормальное
 x  x0    y  y0 
2
уравнение
2
окружности
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 .
радиуса
R
с
центром
в
точке
 x0 ; y0 
:
 R2 .
3. Каноническое уравнение эллипса:
x2 y 2
 2  1 , где а и в – полуоси эллипса: b 2  a 2  c 2 ;
2
a
b
F1  c;0  и F2  c;0 - фокусы эллипса  a  b  ;  
c
- эксцентриситет эллипса;
a
r1  a   x и r2  a   x - фокальные радиусы (расстояние от точки M  x; y  до фокусов эллипса).
4. Каноническое уравнение гиперболы:
x2 y 2

 1 , где а и в – действительная и мнимая полуоси
a 2 b2
гиперболы: c 2  a 2  b 2 ; F1  c;0  и F2  c;0 - фокусы гиперболы;  
c
- эксцентриситет
a
гиперболы;
r1  a   x и r2  a   x - фокальные радиусы (расстояние от точки M  x; y  до фокусов
гиперболы);
y
b
x - уравнения асимптот гиперболы.
a
5. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат: y 2  2 px (симметричная
относительно оси Ох); x 2  2 py (симметричная относительно оси Оу), где р – параметр параболы;
p
p 
F  ; 0  - фокус параболы; r  x  - фокальный радиус (расстояние от фокуса параболы до оси
2
2 
Ох);
x
p
- уравнение директрисы параболы.
2
____________________________________________________________________________________
1) Составить уравнение окружности, проходящей через точки A 1;5 , B  4;0 , C  4; 4  .
2) Найти значение параметра а, при котором окружность x 2  y 2  4 x  a  0 касается прямой
y  x 3 . Найти радиус окружности, ее центр и точку касания.
3) Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 9 x 2  4 y 2  36 .
4) Найти координаты центра, вершин и уравнения асимптот гиперболы 9 x 2  16 y 2  144  0 .
3
5) Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнением y   x и гипербола
5


проходит через точку M 10; 3 3 . Найти расстояние между фокусами и вершинами гиперболы.
6) Дан эллипс 5x 2  9 y 2  45 . Составить уравнение гиперболы, вершины которой находятся в
фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.
7) Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку A  2;4  и симметрична
относительно оси Ох. Найти фокус и уравнения параболы и ее директрисы.
8) Найти центр и радиус окружности 3x2  3 y 2  6 x  8 y  0 .
9) Найти центр и радиус окружности, проходящей через точки A  1;5 , B  2; 2 , C 5;5 .
10) Через точки A 8;2 , B 10;0  провести окружность радиуса R  10 .
11) Составить уравнение окружности, проходящей через точку
5;3
с центром в точке
пересечения прямых 5 x  3 y  13  0 и x  4 y  2  0 .
12) Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 3x 2  4 y 2  12  0 .
13) Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая полуось равна 12, а
эксцентриситет равен 0,8. Найти расстояние между фокусами эллипса.
14) Найти координаты центра, вершин, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы
9 x 2  16 y 2  144 .


15) Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки A  2;1 , B 4; 7 .