Кривые второго порядка Выполнила: студентка группы 2У31 Полымская Дарья

Кривые второго порядка
Выполнила:
студентка группы 2У31
Полымская Дарья
Кривые второго порядка





Общее уравнение кривой второго
порядка
Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола
Общее уравнение кривой
второго порядка
К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем
которого является окружность, гипербола и парабола.
Они задаются уравнением второй степени относительно x и y:
Ax 2  2Bxy  Cy 2  2Dx  2Ey  F  0
Общее уравнение кривой
второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может определять
также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.
Преобразование общего уравнения к
каноническому виду
рассмотрим на примере:
16 x 2  25y 2  32x  50y  359  0 
16x  32x   25y  50y   359  0 
16x  2x   25y  2y   359 
16x  2x  1  25y  2y  1  359  16  25 
2
2
2
2
2
2
16x  1  25y  1  400 
2
2
x  1
2
25

y  1

2
16
1
Преобразование общего уравнения к
каноническому виду на примере:
x  1
2
25

y  1

Перенесем начало координат
в точку (1; -1), получим новую
систему координат:
2
16
1
x '  x  1;
y
y’
x '2 y '2

1
25 16
4
0
-1
5
1
4 5
y'  y  1
x’
х
Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек на
плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R.
Для любой точки М справедливо:
y
М(x; y)
А
0

AM  R
R
x  a   y  b 
2
2
 R
х
x  a   y  b 
2
Каноническое уравнение
окружности
2
 R2
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от
каждой из которых до двух точек той же плоскости F1 и F2, называемых
фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.
Зададим систему координат и начало координат выберем в середине
отрезка [F1 F2]
r1  r2  2a
y
r1
F1
-c
F1(c; 0); F2 (c; 0)
M(x; y)
r2
0
F2
c
r1  F1M 
х
r2  F2M 
x  c2  y 2
x  c   y
2
2
Каноническое уравнение эллипса
2
2
x
y


1
2
2
a
b
Эллипс
y
b
Fмалая
2c
1F2  полуось
F
F1
-c
M(x; y)
r2
r1
-а
x2 y 2
 2 1
2
a
b
0
c2
а х
r1  r2  2a
c 2  a2  b2
cполуось
большая
фокальное
расстояние

фокальные радиусы точки
М
a
-b
эксцентриситет эллипса
Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 – окружность)
Для эллипса справедливы следующие неравенства:
a  c;
a  b;
0   1
Пример
Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в
точках F1(-4; 0) F2(4; 0), а эксцентриситет равен 0,8.
c4
c
   0 .8
a
c 2  a2  b2

 b 2  a 2  c 2  25  16  9
Каноническое уравнение эллипса:
y
3
-5
0
-3
c
4
a 
5
 0 .8
5 х
x2 y 2

1
25 9
b3
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность
расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости
F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная,
равная 2а.
y
r1  r2  2a
M(x; y)
F1(c; 0);
r1
F
F1
-c
0
2
c
r2
х
F2 (c; 0)
r1  F1M 
x  c 
r2  F2M 
x  c 
2
2
 y2
 y2
Каноническое уравнение
гиперболы
2
2
x
y


1
2
2
a
b
Гипербола
x2 y 2
 2 1
2
a
b
y
M(x; y)
r1  r2  2a
r1b
F
F1
-c -а
0
-b
а2 c
r2
b
y  x
a
х
c 2  a2  b2
c
мнимая полуось
 полуось

фокальные
действительная
a
радиусы
точки М
Для гиперболы справедливо:   1
эксцентриситет гиперболы
асимптоты
гиперболы
Пример
Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку
А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями:
6
y 
x
3
b
6

a
3
 3b  6a
x2 y 2
62 ( 4)2
 2 1  2 
1
Точка А лежит на гиперболе
2
2
a
b
a
b
 36b 2  16a 2  a 2b 2
2


3b  6a

b2  a2
Решим систему: 

3
2
2
2 2
2
2
2 2
36b  16a  a b

36
b

16
a

a
b

2 2

2
2
b

a
a  2 3


a
 12
3





2
2
b 8
b  2 2
24a 2  16a 2  a 4
3

Пример
Каноническое уравнение гиперболы:
x2 y 2

1
12 8
y
2 2
2 3
2 3 х
0
2 2
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек на
плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой
фиксированной точки той же плоскости
p
p
F ( ;0), называемой фокусом, равно расстоянию до прямой: x  
2
2
y
r d
d
M(x; y)
r
p
2
0
p
2
p0
2
F

p
F ( ; 0)
2
х
p

r  FM   x    y 2
2

d x
p
2
Парабола
каноническое
уравнение параболы
2
p
p

2
x


y

x



2
2


2
2
p
p
x 2  px 
 y 2  x 2  px 
4
4
y

y 2  2px
директриса параболы
p
r x
d
M(x; y)
r
2
фокальный радиус
F

p
2
0
p
2
х
фокус параболы
Эксцентриситет параболы:   1
Спасибо за внимание!