Document 868235

ПРИМЕРЫ (КРИВЫЕ 2-ГО ПОРЯДКА)
2
2
1. Общее уравнение кривых второго порядка: Ax  Bxy  Cy  Dx  Ey  F  0 .
2. Нормальное уравнение окружности радиуса R с центром в точке
 x  x0 
2
 x0 ; y0  :
  y  y0   R 2 .
2
Пример. Определить вид кривой 2 x 2  2 y 2  12 x  4 y  1  0 , изобразить на плоскости и
найти ее основные характеристики.
Решение:
Выделим
полные
квадраты
2 x2  2 y 2  12 x  4 y  1  0 
2  x 2  6 x  9   18  2  y 2  2 y  1  2  1  0  2  x  3  2  y  1  19 
2
 x  3   y  1
2
R
2

2
19
- уравнение окружности с центром в точке O  3;1 и радиусом
2
19
.
2
Ответ: окружность, центр O  3;1 , радиус R 
3. Каноническое уравнение эллипса:
19
.
2
x2 y 2

 1 , где
a 2 b2




2
2
2
1) в случае  a  b  : а – большая полуось и b – малая полуось эллипса c  a  b ;
F1  c;0  и F2  c;0 - фокусы эллипса;

c
- эксцентриситет эллипса.
a
2
2
2
2) в случае  b  a  : b – большая полуось и а – малая полуось эллипса c  b  a ;
F1  0; c  и F2  0; c  - фокусы эллипса;

c
- эксцентриситет эллипса.
b
Пример. Определить вид кривой 9 x 2  25 y 2  225 , изобразить на плоскости и найти ее
основные характеристики.
Решение: Приведем уравнение 9 x 2  25 y 2  225 к каноническому виду
x2 y 2

1 25 9
уравнение эллипса ( a  5, b  3 ).
a  5 – большая полуось и b  3 – малая полуось эллипса.
c 2  a 2  b 2  25  9  16  c  4 , значит F1  4;0 и F2  4;0 - фокусы эллипса;

c 4
 - эксцентриситет эллипса.
a 5
Ответ: эллипс, центр O  0;0  , a  5 – большая полуось и b  3 – малая полуось эллипса,
F1  4;0 и F2  4;0 - фокусы эллипса,   0,8 - эксцентриситет.
4. Каноническое уравнение гиперболы:
1) в случае
c
2
x2 y 2

 1:
a 2 b2
x2 y 2
y 2 x2
или


1

 1 , где
a 2 b2
b2 a 2
а и b – действительная и мнимая полуоси гиперболы
 a 2  b2  ;
F1  c;0  и F2  c;0 - фокусы гиперболы;

c
- эксцентриситет гиперболы;
a
y
b
x - уравнения асимптот гиперболы.
a
2) в случае
c
2
y 2 x2

 1:
b2 a 2
b и a – действительная и мнимая полуоси гиперболы
 a 2  b2  ;
F1  0; c  и F2  0; c  - фокусы гиперболы;

c
- эксцентриситет гиперболы;
b
y
b
x - уравнения асимптот гиперболы.
a
Пример. Определить вид кривой 16 x 2  9 y 2  144  0 , изобразить на плоскости и найти
ее основные характеристики.
Решение: Приведем уравнение 16 x 2  9 y 2  144  0 к каноническому виду
y 2 x2
 1 16 9
уравнение гиперболы ( a  3, b  4 ).
a  3 – мнимая полуось и b  4 – действительная полуось гиперболы.
c 2  a 2b 2  9  16  25  c  5 , значит F1  0; 5 и F2  0;5 - фокусы гиперболы;

c 5
 - эксцентриситет гиперболы.
b 4
4
Уравнения асимптот гиперболы y   x .
3
Ответ: гипербола, центр O  0;0  , a  3 – мнимая полуось, b  4 – действительная
полуось, F1  0; 5 и F2  0;5 - фокусы гиперболы,   1, 25 - эксцентриситет гиперболы,
y
4
x - уравнения асимптот гиперболы.
3
5. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат:
1) симметричная относительно оси Ох: y 2  2 px , где р – параметр параболы,
p
p 
- уравнение директрисы параболы,
F  ; 0  - фокус параболы; x  
2
2 
2) симметричная относительно оси Оу: x 2  2 py , где р – параметр параболы,
p
 p
- уравнение директрисы параболы,
F  0;  - фокус параболы; y  
2
 2
Пример. Определить вид кривой y 2  6 x , изобразить на плоскости и найти ее
основные характеристики.
Решение: Данное уравнение y 2  6 x является каноническим уравнением параболы с
вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох с параметром
p  3 (т.к. 2 p  6  p  3 ).
3
 3 
- уравнение директрисы параболы.
F   ;0  - фокус параболы; x 
2
 2 
3
Ответ: парабола с вершиной O  0;0  , p  3 – параметр параболы, F   ;0  - фокус
 2 
параболы; x  
3
- уравнение директрисы параболы.
2