Задача 1. Написать каноническое уравнение

Задача 1. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей
через точку М (-5;9/4), если фокальное расстояние равно 10.
, то с=5. Запишем каноническое уравнение гиперболы:
Так как
По условию точка М (-5;9/4) принадлежит гиперболе, следовательно,
.
Из соотношения найдем:
.
Решив систему
находим
уравнение
и
. Итак, искомым уравнением гиперболы будет
&
Задача 2. Доказать, что уравнение
уравнением гиперболы. Найти координаты фокусов.
является
Разделив обе части уравенния на 580, получим
Это уравнение гиперболы, для которой
Из соотношения
будут находиться в точках
и
, с=7 . Фокусы гиперболы
находим
и
.
.&
Задача 3. Найти асимптоты гипербол. Построить гиперболы. Для
каждой гиперболы найти эксентриситет
и
Для первой гиперболы
,
.Уравнения асимптот
и
.
Для второй гиперболы
,
.Уравнения асимптот
и
.
Эксцентриситеты гипербол находим по формуле:
Перед тем как нарисовать гиперболу, следует построить ее асимптоты и
отметить вершины гиперболы.
Задача 4. Даны фокусы гиперболы
. Написать уравнение гиперболы.
и
и ее асимптота
Записав уравнение асимптоты в виде
, находим отношение полуосей
.Из условия задачи следует, что с=10
гиперболы
.
Задача свелась к решению системы уравнений:
Подставляя
во второе уравнение системы
получаем
Откуда
. Теперь находим
. Следовательно, уравнение гиперболы имеет
вид
.