Кривые второго порядка Лекция 11

Кривые второго
порядка
Лекция 11
Кривой второго порядка называется
линия, определяемая уравнением
второй степени относительно текущих
координат х и у.
Окружность
Окружностью называетсяся множество
точек плоскости, равноудаленных от
одной и той же точки плоскости,
называемой центром окружности.
Уравнение окружности
x  x    y  y 
2
0
2
0
( x0 ; y0 )  öåí ò ð
R  ðàäèóñ
R
2
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое
место точек (плоскости), сумма
расстояний которых от двух данных
точек, называемых фокусами этого
эллипса, есть величина постоянная.
•
M ( x, y )
y
F1 (C,0)
O
F2 (C,0)
X
MF1  MF2  2a
x  c 
2
y 
2
x  c 
2
ab0
c a b
2
2
 y  2a
2
Уравнение эллипса
х
у


1
.
2
2
а
в
2
2
(x  x ) ( y  y )

1
a
b
2
2
0
2
0
2
Эллипс
y
b
a
.
F1 (C ,0)
.F (C,0)
0
2
b
a
x
Оси симметрии эллипса называются его
осями, точка их пересечения- центром
эллипса, ось, на которой находятся
фокусы (в данном случае это ось
абсцисс) называется фокальной осью.
Точки пересечения эллипса с осями
координат называются вершинами
эллипса. Это точки с координатами
(a,0), (a,0), (0, b), (0,b).
a, b
Числа
эллипса.
называются полуосями
c
Отношение   
a
a b
a
2
2
,
 1
называется эксцентриситетом эллипса
и характеризует его форму, ничего не
говоря о его размерах. Чем меньше
эксцентриситет, тем меньше
подкоренное выражение в числителе
дроби, тем меньше малая полуось
отличается от большой и , значит, тем
меньше эллипс вытянут вдоль
фокальной оси.
Замечание
Если
b  a ,то фокальной осью является 2b
Фокусы :
F1 (0;с)
b c  a
2
2
c

b
F2 (0; с)
2
Гипербола
Гиперболой называется
геометрическое место точек, разность
расстояний которых от двух данных
точек плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная.
Y
Y
У
M
F1  c;0
F2 c;0 
X
Уравнение гиперболы
2
2
õ
ó


1
2
2
à
b
(x  x ) ( y  y )

1
a
b
2
2
0
2
0
2
Гипербола
y
F1.
c
b
a
a
0
b
F
.2
c
x
Из уравнения гиперболы видно, что
точек пересечения с осью Оу нет. Ось
Ох называют действительной осью, а
ось Оу – мнимой осью гиперболы.
Гипербола имеет две вершины,
лежащие на фокальной оси. Это точки
и
(

a
;
0
)
A1
A2 (a;0)
Основной прямоугольник
гиперболы
Прямоугольник, проходящий через точки
(a;0) (a;0) (0; b) (0;b)
со сторонами, параллельными осям
координат, называется основным
прямоугольником гиперболы.
Для гиперболы
c a b .
2
2
2
Фокусы гиперболы :
F1 (c;0)
F2 (c;0)
Оси и полуоси гиперболы
Принято говорить:
2a и 2b - действительная и мнимая оси
a
и
2a
b-
действительная и мнимая
полуоси
- фокальная ось
Асимптоты
Гипербола имеет две асимптоты, т. е.
прямые, к которым приближаются точки
этой кривой при неограниченном их
удалении от начала координат вдоль по
гиперболе в бесконечность. Их
уравнения
b
y  x,
a
b
y   x.
a
c
a b
 
,  1
a
a
называется эксцентриситетом
Отношение
2
2
гиперболы и является мерой ее
«сплюснутости», т. е. чем меньше
эксцентриситет, тем меньше отношение
полуосей гиперболы, а, значит, тем
сильнее вытянут ее основной
прямоугольник
Замечание
х
у
 2  2 1.
а
в
2
Для гиперболы
2a -мнимая ось ,а
F1 (0;c)
B1 (0;b)
2b
2
-действительная ось
F2 (0; c)
c

b
B2 (0; b)  вершины
Парабола
Параболой называется геометрическое
место точек, равноудаленных от данной
точки плоскости, называемой фокусом,
и данной прямой, называемой
директрисой.
Если расположить ось Ох
перпендикулярно директрисе и
провести ее через фокус в направлении
от директрисы к фокусу, обозначив при
этом расстояние от фокуса до
директрисы р, то можно показать, что в
этом случае уравнение параболы будет
2
y  2 px,
иметь вид:
а если через фокус провести ось Оу, то
2
уравнение имеет вид: x  2 py.
Парабола
y
.
0
p
x
2
y  2 px,
2
F
.
x
Фокус параболы -
p
F ( ;0) ,
2
вершина параболы – в точке
O(0;0),
директриса параболы это прямая
p
x
2
Парабола
y
F.
0
.
x  2 py.
2
p
y
2
x
Фокус этой параболы
p
F (0; ),
2
вершина такой параболы
находится в точке
O(0;0)
директриса параболы- это
p
прямая y  
2
,
Самостоятельно изучить
параболы
у   2 рх
2
x   2 рy
2
Общее уравнение кривой второго
порядка
Уравнение кривой второго порядка
может иметь вид
Ax  2Bxy  Cy  Dx  Ey  F  0.
2
2
В простейшем случае при В=0 можно
определить тип кривой, определяемой
общим уравнением, выделяя полные
квадраты переменных и сводя общее
уравнение к каноническому уравнению
той или иной кривой.
Пример
Привести уравнение 2х²+3у²-16х-64=0
кривой второго порядка
к каноническому виду и найти ее центр,
полуоси, эксцентриситет, и, если кривая
имеет асимптоты, уравнения асимптот.
Для того чтобы привести уравнение
кривой к каноническому виду, выделим
полный квадрат переменной х. Для
этого произведем преобразования:
2(х²-8х)+3у²-64=0;
2(х²-8х+16-16)+3у²-64=0.
2((х-4)²-16)+3у²-64=0;
2(х-4)²+3у²-32-64=0; 2(х-4)²+3у²=96.
Разделим теперь обе части уравнения
на 96 и получим уравнение
( x  4)
y

1
48
32
2
2
Это каноническое уравнение эллипса.
Полуоси этого эллипса соответственно
равны:
.
a  48  4 3, b  32  4 2
Центр эллипса находится в точке С(4;0).
Эксцентриситет находят по формуле .
a b
48  32
4
1
3





a
3
4 3
4 3
3
2
2
Пример
Составить каноническое уравнение
гиперболы, зная, что расстояние между
ее фокусами равно 26, а
13
эксцентриситет равен
.
12
ñ 13
Решение. По условию 2с = 26,   
à 12
Следовательно, большая полуось
гиперболы
ñ
12
à   13 

13
 12,
Тогда малая полуось
b  ñ  à  13 12  5.
2
2
2
2
Уравнение гиперболы имеет вид
2
2
у
х

 1.
144 25
Пример
Составить уравнение гиперболы, если
расстояние между вершинами ее равно
20, а расстояние между фокусами
равно 30.
Решение. 2с=30, т.е. с=15. Тогда
2
2
2
b  c  a  225  100  125,
а уравнение гиперболы имеет вид
2
2
x
y

 1.
100 125
Изобразим гиперболу. Для этого
построим основной прямоугольник, где
a  10, b  5 5.
5 5
-10
0
5 5
10
Пример
Парабола симметрична относительно
оси Ох, проходит через точку А(4;-1), а
вершина ее лежит в начале координат.
Составить уравнение параболы. Такая
парабола имеет уравнение
y  2 px.
2
Найдем р, подставив в уравнение
координаты точки А:
1=2р4, р=1/8=0,125.
2
Тогда имеем: y  0, 25 x.