Пример 3 - Natalymath.ru

№ 45.
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую
x  2 y  2 z 1


3
2
2
и точку А(1; 2; 0).
Решение.
Прямая проходит через точку В (2; -2; -1) и имеет направляющий вектор a  3;  2; 2 .
BA  1  2; 2  2; 0  1  1; 4; 1 .
N
А
Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен
обоим векторам:
В
и
a
AB ,
поэтому в качестве
нормального вектора можно взять векторное произведение
a
этих векторов.
i
j
k
3
2 2   2  8  i   3  2  j  12  2  k  10i  5j  10k  10;  5; 10
1
4
N  a  BA 
1
Уменьшим все координаты в 5 раз: N  2;  1; 2 .
Уравнение плоскости, проходящей через точку (х0; у0; z0) перпендикулярно вектору
N  A; B; C , имеет вид: A  x  x 0   B  y  y0   C  z  z 0   0 .
Поэтому уравнение плоскости:
-2(x – 1) - (y – 2) + 2(z – 0) = 0
2x + y – 2z – 4 = 0
№ 145.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

dx
x
x 1
Решение.
2
Это несобственный интеграл первого рода, с бесконечным верхним пределом.
Заменим переменную
x  1  t;
x 1  t2 ;
x  t 2  1;
dx  2tdt
Пределы интегрирования:
t1  2  1  1;

 t
1
2tdt
2
 1 t


t
1
t2   1  


2dt
 

 
 2arctg t 1  2 lim arctg t  arctg1  2     2  
2
x 
4 2
1
2 4
Интеграл сходится.
№ 185.
Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную
1
функцию в степенной ряд и почленно интегрируя этот ряд:
 cos
xdx
0
Решение.
Используем
разложение
f  x   cos x  1 
в
ряд
Маклорена
функции
x x2 x6
x 2n 2
n 1


 ...   1
 ...
2! 4! 6!
 2n  2 !
Подставим везде x вместо x
cos x  1 
x x 2 x3
x n 1
n 1


 ...   1
 ...
2! 4! 6!
 2n  2 !
1


x2
x3
x4
xn
1
1
1
n 1
cos
x
dx

x




...


1
 ...  1 


 ...



0
2  2! 3  4! 4  6!
n  2n  2 !
2  2! 3  4! 4  6!

0
1
1
1
n 1
...   1
 ...  1  0, 25 

 0, 7635  0, 764
n  2n  2 !
72 2880
1
Ряд знакочередующийся, удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, следовательно,
погрешность полученного вычисления не превосходит по абсолютной величине первого
отброшенного члена ряда. Здесь a 4  0,0003 , т.е. для достижения указанной точности
достаточно трех первых членов ряда.