Тема «Определенный интеграл - Якутский медицинский колледж

Министерство здравоохранения Республики Саха (Якутия)
Государственное бюджетное образовательное учреждение
Якутский базовый медицинский колледж
Учебно-методический комплекс
По дисциплине «Математика»
Тема: «Определенный интеграл»
Для студентов всех специальностей первого года обучения
Преподаватель:
Подрясова Сардаана Федоровна
Якутск 2011
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА ЗАНЯТИЯ
Тема №4. Определенный интеграл
Специальность: ЛД, СД. АД, З/Т, С/П, Фарм, Ф/Л
Курс: 1 группа:
Вид занятия: лекция
Время: 2 часа
Место проведения занятия: аудитория
Образовательная цель: Научить находить определенные интегралы по
формулам интегрирования.
Студент должен знать: свойства и правила нахождения определенных
интегралов, геометрический смысл интеграла, методы интегрирования.
Студент должен уметь: находить определенный интеграл по таблице и
различными методами
Воспитательная цель: Формирование умений анализировать проблему и
планировать способы ее решения, развитие навыков самостоятельной
работы с дополнительной литературой и развитие наблюдательности,
формировать
чувства
ответственности,
уверенности
в
себе,
взаимовыручки,
самоконтроля,
собранности,
организованности.
Воспитывать требовательность к себе, внимание, четкость выполнения
заданий.
Методическая цель: Показать учащимся на примерах из жизни
применение интеграла. Научить использовать интегралы при решении
многих задач прикладного характера.
Внутрипредметная связь: Предел функции. Производная. Дифференциал
функции. Неопределенный интеграл. Приложение определенного
интеграла к вычислению площади.
Оснащение занятия: Таблица первообразных
Литература для студентов:
1. Омельченко В.П., Курбатова «Математика», 1-е издание,
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное
пособие, 5-е изд. – М.: Высшая школа, 2002.
3. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных
учебных заведений. – М.: Академия, 2003.
4. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.:
Просвещение, 2007.
Литература для преподавателей:
5. Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: компьютерные
технологии в медицине» 2-е издание, 2010год
6. Зайцев В.М.,Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. «Прикладная
медицинская статистика» СПб ООО «Издательство Фоллиант», 2003
7. Морозов Ю.В. «Основы высшей математики и статистики:
учебник»-М;Медицина, 1998.
8. Киселева Л.В. Пособие по математике для студентов медицинских
училищ и колледжей. – М.: ФГОУ «ВУНМЦ Росздрава», 2005.
Структура занятия:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Организационный момент – 5 мин.
Целевая установка занятия – 5 мин.
Актуализация базовых знаний – 15 мин.
Формирование новых знаний – 60 мин
Подведение итогов занятия 3 мин.
Задание на дом 2 мин.
Ориентировочная основа действий (ООД)
№
Этапы
занятия
Врем
я
Цели этапов
Ориентировочны
е действия
преподавателя
1
Организац 5 мин
ионный
Создание
условий для
мотивации
студентов к
изучению
темы.
2
Целевая 5 мин
установка
Активизация Ознакомление с
Записывают
мыслительной планом занятия.
тему и цели
деятельности Акцент на
урока
основные вопросы.
3
Актуализа 15
ция
мин
базовых
знаний
Повторение и Фронтальный
закрепление
опрос
базовых
знаний
Отвечают на
вопросы
преподавателя
4
Формиров 35
ание
мин
новых
знаний
Формировани
е углубление
и закрепление
знаний,
правил
Раскрытие темы,
обсуждение
основных вопросов
темы, объяснение
примеров решения
задач
Записывают
основные
определения,
правила,
формулы.
5
Закреплен 20
ие новых мин
знаний
Контроль
усвоения
полученных
знаний
Объяснение
примеров
Решают
примеры,
отвечают на
вопросы,
дополняют,
исправляют,
анализируют.
6
Подведен
ие итогов
5 мин. Релаксация
Проверка
готовности
студентов к
занятию, отметка
присутствующих,
запись в журнале
Ориентировоч
ные действия
студентов
Рапорт
дежурного
занятия
7
Задание
на дом
2 мин. УИРС
Объяснение
Запись
выполнения
домашнего
домашнего задания задания
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Тезисы лекций
Тема «Определенный интеграл»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Тема: Определенный интеграл.
Формула Ньютона-Лейбница
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – какая-либо
ее первообразная на [a;b] (F'(x)=f(x)), то имеет место формула
a
∫ f(x)dx = F(b) − F(a)
d
Определенный интеграл – это число, равное разности значений
первообразных функции f(x) при верхнем и нижнем пределах
интегрирования.
Свойства определенного интеграла:
1. Постоянный
множитель
можно
вынести
за
значение
определенного интеграла:
b
b
∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx
a
a
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа функций равен алгебраической сумме определенных
интегралов от слагаемых функций:
b
∫ [f1 (x) + f2 (x) − f3 (x) + ⋯ + fn (x)] dx
a
b
b
b
= ∫ f1 (x) dx + ∫ f2 (x) dx − ∫ f3 (x) dx + ⋯
a
a
a
b
+ ∫ fn (x) dx
a
3. При
перестановке
пределов интегрирования
определенный
интеграл меняет знак на противоположный:
b
a
∫ f(x) dx = − ∫ f(x) dx
a
b
4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами есть нуль:
a
∫ f(x) dx = 0
a
5. Отрезок интегрирования можно разделить на части:
b
c
b
∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx,
a
a
где c ∈ [a; b]
c
При вычислении, как неопределенного интеграла, так и
определенного широко используются:
1) Метод непосредственного интегрирования;
2) Метод замены переменных (Метод подстановки);
3) Метод интегрирования по частям.
Рассмотрим примеры:
1) В случае, когда подынтегральная функция f(x) является
табличной, используется метод прямого интегрирования
π
π
∫ sin x dx = − cos x | = − cos π + cos 0 = 2
0
0
2) Интегрирование подстановкой (метод замены переменных)
π/2
∫
0
dt
t5
4
sin x cos x dx = ∫ sin x ∙ t ∙ (−
) = − ∫ t dt = −
sin x
5
4
4
π
cos 5 ( ) cos 5 (0)
cos 5 x π/2
1
2 +
= −
|
== −
=
0
5
5
5
5
Введем новую переменную t=cosx
dt= -sinx dx
dx=- dt/sinx
В результате после подстановки получен интеграл по новой
переменной t, который непосредственно интегрируется (т.е. табличный
интеграл).
3) Интегрирование по частям
b
∫a udv
b
b
= (uv)∣ − ∫a vdu
a
Вычислим
определенный
𝑒
x2
1 e
= ( lnx)| − 2| =
x
2
1 4x 1
u=lnx
dv=xdx
e x2 dx
∫1
2
x
Задания:
2
1. ∫0 3x 4 dx
3
2. ∫−1(1 − 2x + 3x 2 ) dx
b
3. ∫−b(x 2 − 1) dx
π
4. ∫0 (sin x − x) dx
1
5. ∫0 (ex − 1) dx
1 dx
6. ∫0
1+x2
2 dx
7. ∫0
2
4+x2
π/4
8. ∫π/6 cos 2x dx
e
∫1 x
1
lnx dx = lnx
(e2 lne − ln1) − (e2 − 1)
x2
v = ∫ x dx =
2
dx
du=
1
интеграл:
4
x2
2
∣
e
−
1
π/2
9. ∫0
cos 2 x dx
0
10.∫–π/4 sin x cos 3 x dx
π/2 cos x
11.∫–π/4
sin4 x
dx
1 x2 dx
12.∫0
1+x3
1 x2 dx
13.∫0
1+x6
2
14.∫1 x 2 ex dx
π/4
15.∫0
x sin x dx
4
16.∫e x lnx dx
π/2 x
17.∫0
e cos x dx
Алгоритм вычисления определенного интеграла:
1. Определить метод интегрирования.
2. Произвести операции по методу интегрирования.
3. Использовать формулу Ньютона-Лейбница.
4. Оформить ответ.
ГБОУ Якутский базовый медицинский колледж
Практические работы
Тема «Определенный интеграл»
Для всех специальностей
Студентов 1 года обучения
Преподаватель:
Подрясова С.Ф.
Самостоятельная работа
Вычислить следующие определенные интегралы:
𝟐
1. ∫−𝟏(х𝟐 + 𝟐х + 𝟏)dx
𝟎
2. ∫−𝟏(𝐱 𝟑 + 𝟐𝐱)𝐝𝐱
𝟑
3. ∫–𝟐(𝟒𝐱 𝟑 − 𝟑𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱 + 𝟏) 𝐝𝐱
𝟏
𝐝𝐱
4. ∫𝟏/𝟐 𝟑
𝐱
𝟏/𝟐 𝐝𝐱
5. ∫𝟏/𝟑
𝐱𝟐
𝟒
6. ∫𝟎 √𝐱𝐝𝐱
𝟖𝟑
7. ∫𝟏 √𝐱 𝟐 𝐝𝐱
𝟐𝟕 𝐝𝐱
8. ∫𝟖
𝟑
√𝐱
𝟒
𝟏
9. ∫𝟏 (√𝐱 − ) 𝐝𝐱
√𝐱
𝟏
10.∫−𝟏 𝐞𝐱 𝐝𝐱
𝐞 𝐝𝐱
11.∫𝟏
𝐱
𝛑/𝟐
12.∫𝛑/𝟔 𝐜𝐨𝐬𝐱𝐝𝐱
𝛑/𝟑 𝐝𝐱
13.∫𝛑/𝟒
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝐱
√𝟑/𝟐
14.∫−𝟏
𝐝𝐱
√𝟏−𝐱 𝟐
Интегрирование методом замены переменной в определенном
интеграле:
𝟑
1. ∫𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏)𝟑 𝒅𝒙
𝟓
2. ∫𝟒 (𝟒 − 𝒙)𝟑 𝒅𝒙
𝟏
3. ∫𝟎
𝒅𝒙
(𝟑𝒙+𝟏)𝟒
𝟐
4. ∫𝟏
𝒅𝒙
√𝟓𝒙−𝟏
𝟏
5. ∫𝟎 (𝟐𝒙𝟑 + 𝟏)𝟒 𝒙𝟐 𝒅𝒙
√𝟑/𝟑
6. ∫√𝟐/𝟑
𝒅𝒙
√𝟒−𝟗𝒙𝟐
𝟑𝟑
7. ∫𝟎 √𝟑𝒙 − 𝟏𝒅𝒙
𝟓
8. ∫𝟏 √(𝟐𝒙 − 𝟏)𝟑 𝒅𝒙
𝟓
9. ∫−𝟐 𝟑
𝒅𝒙
√(𝒙+𝟑)𝟐
𝟐
10.∫−𝟏(𝒙𝟐 − 𝟏)𝟑 𝒙𝒅𝒙
𝟐 𝟒𝒙𝒅𝒙
11.∫𝟎
(𝒙𝟐 −𝟏)𝟑
𝟐√𝟐
12.∫√𝟓
𝒙𝒅𝒙
√𝟑𝒙𝟐 +𝟏
√𝟑 𝟑𝟐𝒙𝒅𝒙
(𝒙𝟐 +𝟏)𝟓
13.∫𝟏
Интегрирование по частям: