к теме 3

5. Интегрирование иррациональных выражений
1. R( x, x 2  px  q )dx
Рекомендуемая подстановка:
2. R( x, a 2  x 2 )dx
x  a  sin t dx  a  cos t dt
a dt
cos 2 t
 R( x,
a  x )dx
x  a  tg t dx 
 R( x,
x  a )dx
a
sin t dt
x  a  sec t 
dx  a
cos t
cos 2 t
2
2
2
2
5. Интегрирование иррациональных выражений
3.



R
(
x
,
x
,
x
, ...)dx

x t
s
, , g …– дробные рациональные числа,
s – наименьшее общее кратное , , g

 ax  b 
4.  R( x, 

 cx  d 
 ax  b 
,

 cx  d 

, , g …– дробные рац. числа,

 ax  b 
,
 , ...)dx
 cx  d 
ax  b s
t
cx  d
s – наименьшее общее кратное , , g
5. Дифференциальный бином
ОПР. 5 Выражение вида x m ( a  bx n ) p , где (m,n,p,a,b) – const,
называется дифференциальным биномом.
Теорема 8. (Чебышева)
Q выражаются в конечном

виде через элементарные функции, если оказывается целым одно
m
n p
x
(
a

bx
) dx (m,n,p
Интегралы
из чисел:
1) p
∈
)
подстановка
x = ts
(s – наименьшее общее кратное m и n )
m 1
2)
n
Подстановка a  bx n
m 1
3)
p
n
a  bx n s
 t , где s – знаменатель p
Подстановка
n
x
 t s, где s – знаменатель p
Пафнутий Львович Чебышев
(1821-1894) Россия.
Один из крупнейших математиков.
Исследования по теории чисел выдвинули
молодого русского математика в число
первых учёных Европы.
Его считали основателем русской школы теории вероятностей. У
него были работы, посвящённые вычерчиванию географических
карт;
рациональному раскрою одежды; он изготовил чехол, плотно
облегающий шар; создал механизмы, осуществляющие движение по
тем или иным кривым: гребной автомат, повторяющий движение
вёсел, самокатное кресло.
Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
e

 x2
dx

sin x
dx  si ( x)
x
cos x
dx  co( x)
x

ex
dx
x

dx
 li ( x)
ln x

 R( x,
– интеграл Пуассона.
– интегральный синус.
– интегральный косинус.
– интегральный логарифм.
R( x, ax3  bx 2  cx  d )dx – эллиптические интегралы
ax 4  bx3  cx 2  dx  e )dx
Терминология
Иррациональное выражение
Радикал
Наименьшее общее кратное
Дифференциальный бином
Не берущийся интеграл
Интегральный логарифм, синус, косинус
Эллиптический интеграл
Понимать! Уметь произносить! Запомнить! Использовать!