Лекция 14. Непрерывность функции

Лекция 14. Непрерывность функции.
14.1. Определения непрерывности функции.
Определение 14.1. Функция f x  называется непрерывной в точке a, если она
удовлетворяет следующим трём условиям:
1) f x  определена в точке а (то есть существует f a  );
2) f x  имеет конечный предел функции при x  а ;
3) этот предел равен частному значению функции в точке а, то есть lim f  x   f a  .
xa
Определение 14.2. Функция f (x ) называется непрерывной справа (слева) в точке a,
если правое (левое) предельное значение этой функции в точке a существует и равно частному
значению f a   lim f x   f a  .


x a 0
 Пример 14.1.
Приведём примеры непрерывных функций:
1) f x   x n , так как lim f x   a n  f a  .
x a
Pn  x 
при Qm a   0 .
Qm  x 
3) Функция f x   sgn x свойством непрерывности в точке x  0 не обладает. 
2) R x  
Определение непрерывности в точке а может быть записано и так:
lim f  x   f lim x ,
 
xa
xa
то есть для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.
Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью её графика
при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).
Дадим
аргументу
а
приращение х . Тогда функция
y  f x  получит приращение
у , определяемое как разность
наращенного
и
исходного
значений функции (см. рис. 14.1):
у  f a  x  f a .
Рис. 14.1.
Определение 14.3. Функция y  f x  называется непрерывной в точке а, если она
определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции: lim y  0 .
x  0
Определение 14.4. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности,
называются точками разрыва функции.
Например, функция Дирихле разрывна в каждой точке  ; .
Точки разрыва имеют различный характер и классифицируются следующим образом.
1) Если f a  0  f a  0  f a , то а называется точкой устранимого разрыва функции
f x  . При этом значение f a  может быть и не определено.
2) Если f a  0  f a  0 , то а называется точкой разрыва с конечным скачком
функции f x  . Значение f a  может быть любым, а может быть и не определено.
61
3) Конечный скачок и устранимый разрыв функции f x  называются разрывами I рода.
Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов
f a  0 и f a  0 .
Все другие разрывы называются разрывами II рода. В точке разрыва II рода хотя бы один
из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.
 Пример 14.2. 1) Пусть
 x при х  0;
Очевидно,
f x   
1 при х  0.
f 0  0  f 0  0  0 , но
f 0  1 (рис. 14.2). Следовательно, x  0 – точка устранимого разрыва функции f x  . Если
положить f 0  0 , то разрыв устраняется.
Рис. 14.2.
 x при х  0;
2) Пусть f x   
Здесь f 0  0  1, f 0  0  0 (рис. 14.3). Следовательно,
 x  1 при х  0.
x  0 – точка разрыва с конечным скачком функции f x  . При переходе через точку x  0
значения функции f x  меняются скачком от значений, сколь угодно близких к 1 при x  0 к
значению, равному 0 в точке x  0 , и значениям, сколь угодно близким к 0 при x  0 .
Рис. 14.3.
62
1
3) Пусть f x   5 x x  0 . Определим односторонние пределы: f 0  0  0 , f 0  0   .
Точка x  0 – точка разрыва функции f x  II рода (рис. 14.4).
Рис. 14.4. 
Определение 14.5. Функция непрерывна на множестве x, если она непрерывна в любой
точке x  x. Функция непрерывна на интервале a; b или на сегменте a; b , если
lim f  x   f a  ; lim f  x   f b  .
xa  0
x b  0
14.2. Свойства функций, непрерывных в точке.
♦ Теорема 14.1. 1) Если функции f x  и g x определены на x и непрерывны в точке a,
f x 
то их алгебраическая сумма (разность) f x  g x , произведение f x g x и частное
g x 
g a  0 являются функциями, непрерывными в точке a.
Доказательство следует из определения непрерывности функции и аналогичных свойств
пределов функций. ■
♦ 2) Если функция y  f x  непрерывна в точке а и f a   0 , то существует такая
окрестность точки а, в которой f x  0 .
Доказательство этого свойства основывается на том, что при малых приращениях
аргумента х  0 в соответствии с определением 14.3 можно получить как угодно малое
приращение функции у , так что знак функции y  f x  в окрестности точки а не изменится. ■
♦ 3) Если функция y  f u  непрерывна в точке u0 , а функция u   x непрерывна в
точке x0 , и  x0   u0 , то сложная функция y  f  x  непрерывна в точке x 0 .
Доказательство. Малому приращению аргумента х  0 в силу определения 14.3
соответствует как угодно малое приращение u  0 , приводящее, в свою очередь, в силу того
же определения непрерывности функции y  f u  к как угодно малому приращению у  0. ■
Свойство 3 может быть записано в виде
lim f  x   f lim  x  ,

x a
x a

то есть под знаком сложной функции можно переходить к пределу.
Функция y  f x  называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в
каждой точке этого промежутка. Можно доказать, что все элементарные функции непрерывны
в области их определения.
63
 Пример 14.3. Доказать непрерывность функции y  cos x .
2 x  x
x 

 sin
Найдём lim y  lim cosx  x   cos x    2 lim  sin
  0 . Таким образом,
x 0
x 0
x 0
2
2 

получили, что lim y  0 , следовательно, по определению 14.3 функция y  cos x является
x  0
непрерывной на всей числовой оси. 
Отметим ещё некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке:
1) Если функция y  f x  непрерывна на
отрезке а; b, то она ограничена на этом
отрезке (см. рис. 14.5).
Рис. 14.5.
2) Если функция y  f x  непрерывна на
отрезке а; b, то она достигает на этом отрезке
наименьшего значения m и наибольшего
значения M (см. рис. 14.6).
Рис. 14.6.
3) Если функция y  f x  непрерывна на
отрезке а; b и значения её на концах отрезка
f a  и f b имеют противоположные знаки,
то внутри отрезка найдётся точка   a; b
такая, что f    0 (cм. рис. 14.7).
Рис. 14.7.
64