lec 6

Теорема 1. (О замене б.м. на эквивалентную).
Если (x) ~ 1(x), (x) ~ 1(x) и
 ( x)
lim
 c , то
x x
 ( x)
0
 1 ( x)
lim
 c , т. е. предел отношения б.м. не меняется
x x
1 ( x)
при замене их эквивалентными б.м.:
0
lim
x x
0
 1 ( x)
 ( x)
.
 lim
x x
 ( x)
 1 ( x)
0
Эквивалентные бесконечно малые
Пусть (х)  0 при x  x0.
sin (х) ~  (х)
ln (1 + (х)) ~  (х)
arcsin  (x) ~  (х)
log a (1 + (х)) ~ (х)1/ln a
tg (х) ~  (х)
e (х) - 1 ~ (х)
arctg (х) ~  (х)
a (х) - 1 ~ (х) 1n а
1 - cos (х) ~ 2(х)/2
n
1   ( x)  1 ~
 ( x)
n
Теорема 2. Если (x) и (x) - б.м. при x  x0, причем
(x) - б.м. более высокого порядка, чем (x), тогда
 (х) = (x) + (x) — б.м. того же порядка что и (x).
1
Замечание 1. Аналогично б.м. можно сравнивать и
б.б., а именно если f(x) и (x)-б.б. при x  x0 и
,
f ( x) 
lim
 0, то
x x
 ( x) 
1
  f(x) б.б. более высокого порядка, чем (x) при x  x0;
0  f(x) б.б. более низкого порядка, чем (x) при x  x0;
1  f(x) и (x) эквивалентные б.б. при x  x0.
0
Замечание 2. Теоремы 1 и 2 для б.б. функций
остаются верными с той лишь разницей, что главной
частью б.б. функции является б.б. более высокого
порядка.
п.7. Непрерывность функции
Определение 1. Функция у = f(х) называется
непрерывной в точке x0, если выполняются
следующие три условия:
1) Функция у = f(х) определена в точке x0, т.е.
x0  D(f);
2) существует lim
f ( x) ;
x x
0
3) lim
f ( x)  f ( x0 ) .
xx
0
Замечание. Условие 2 можно записать в виде:
lim
f ( x) = xlim
f ( x) = xlim
f ( x) .
x x
 x 0
 x 0
0
0
0
2
Определение 2. Функция у = f(х) называется
непрерывной в точке x0, если бесконечно малому
приращению аргумента в этой точке соответствует
бесконечно малое приращение функции. Т.е.
 f ( x0  x)  f ( x0 )  0 .
lim
y  lim
x 0
x 0
Определение 3. Функция у = f(х), определенная в
некоторой левой (правой)
окрестности точки x0,
называется непрерывной слева (справа) в точке x0,
если существует предел слева (справа) функции у = f(х)
и он равен f(х0).
Другими словами, функция у = f(х)
– непрерывна слева в т. x0   xlim
f ( x)  f ( x0 ) ,
 x 0
0
– непрерывна справа в т. x0   xlim
f ( x)  f ( x0 ) .
 x 0
0
Определение 4. Функция у = f(х), непрерывная во всех
точках
некоторого
множества
X,
называется
непрерывной на этом множестве.
3
Точки разрыва и их классификация
Определение. Если функция у = f(x) определена в
некоторой окрестности точки x0, но не является в точке
x 0 непрерывной, то функцию называют разрывной в
точке x 0, а саму точку x0 – точкой разрыва функции
у = f(x). При этом
1)
если существует lim
f ( x) и при этом x0  D(f)
x x
0
или lim
f ( x)  f ( x0 ) , то точка
xx
x0 называется
0
2)
точкой устранимого разрыва;
если не существует lim
f ( x) , но при этом
x x
0
существуют два конечных односторонних
предела
lim f ( x)  f ( x0  0) ,
x  x 0
0
lim f ( x)  f ( x0  0) , не равные друг другу, то
x  x0  0
3)
точка
x0 называется точкой разрыва
первого рода, а разность f(х0+0) – f(х0–0) = h
скачком функции f(x) в точке x0;
если хотя бы один из односторонних
пределов равен + (или ) или вообще не
существует, то точка x0 называется точкой
разрыва второго рода.
Свойства непрерывных функций
Теорема 1. Основные элементарные функции
непрерывны всюду в своей области определения.
4
Теорема 2. Если f(x) и (x) непрерывные функции
на множестве X, то
1) f(x)  (x) – непрерывна на множестве X;
2) f(x)  (x) – непрерывна на множестве X;
f ( x)
, ( ( x)  0, x  X ) –непрерывна на мн-ве X.
3)
 ( x)
Теорема 3. Пусть f : X  Y ,  : Y  Z . Если функция
f(x) непрерывна на множестве X, (x) – непрерывна
на множестве Y, то (f(x)) – непрерывна на
множестве X.
Теорема
4.
Все
элементарные
функции
непрерывны всюду в своей области определения.
Свойства функций непрерывных на отрезке
Теорема 5. Если функция f(x) непрерывна на
отрезке [a,b], то на этом отрезке
она
ограниченна и достигает своих нижней и верхней
граней т.е. на нем существует по крайней мере
две точки с 1 и с 2 , такие, что
f (c1 )  xinf
f ( x) , f (c2 )  sup f ( x) .
 a ,b 
x a ,b 
Теорема 6.(Коши о промежуточных значениях)
Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)=A,
f(b)=B. Тогда для любого числа С, заключенного между
A и B, найдется такая точка с[a,b], что f(c)=C.
5
Теорема 7. Если функция f(x) непрерывна на
отрезке [a,b] и на его концах
принимает
значения разных знаков, то внутри этого отрезка
существует, по крайней мере, одна точка, в
которой значение функции равно нулю:
f(x) : f(a) f(b)<0   x0(a, b) | f(x0)=0.
6