1.3.3. Классификация точек разрыва функции Точки разрыва, в

1.3.3. Классификация точек разрыва функции
Точки разрыва, в которых функция не является непрерывной,
имеют следующую классификацию.
1. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции
f(x), если предел функции в этой точке существует, но в точке а
функция f(x) либо не определена, либо ее значение f(a) не равно
пределу в этой точке.
Пример. Функция f ( x) =
sin x
в точке х = 0, как известно, имеет
x
предел, равный единице (первый замечательный предел). Однако в
самой точке х = 0 эта функция не определена, т.е. разрыв первого
вида. Этот разрыв можно устранить (потому он и называется
устранимым), если доопределить эту функцию в этой точке
значением предела в ней, т.е. ввести новую функцию
ì sin x
, x ¹ 0,
ï
g ( x) = í x
ïî1, x = 0.
Функция g(x) является непрерывной на всей числовой прямой.
2. Точка а называется точкой разрыва первого рода функции
f(x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг
другу левый и правый пределы:
lim f ( x) ¹ xlim
f ( x).
®a +
x ®a -
Пример. Рассмотрим функцию f(x) = sign x (см. примеры
ранее). Для нее точка х = 0 является точкой разрыва 1-го рода.
3. Точка а называется точкой разрыва второго рода функции
f(x), если в этой точке функция f(x) не имеет, по крайней мере,
одного из односторонних пределов или хотя бы один из них
бесконечен.
Пример. Для функции f(x) = 1/x точка х = 0 является точкой
(1 / x) = +¥, lim
(1 / x) = -¥.
разрыва второго рода, поскольку lim
x ®0 +
x ®0 -
Пример. Для функции f(x) = sin(1/x) точка х = 0 является
точкой разрыва второго рода, так как ни левого, ни правого предела
функции в этой точке не существует.