Лекция 5. Тема: Непрерывность функции. Точки разрыва. Производные первого порядка. 1)Рассмотреть понятие непрерывности,

Кафедра математики и моделирования
Старший преподаватель Е.Г. Гусев
Курс «Высшая математика»
Лекция 5.
Тема: Непрерывность функции. Точки разрыва.
Производные первого порядка.
Цель:
1)Рассмотреть понятие непрерывности,
классифицировать точки разрыва.
2)Дать определение производной первого порядка.
Таблица производных элементарных функций.
Геометрический и физический смысл производной.
Приращением некоторой переменной величины называется разность между новым
значением этой величины и её прежним значением, т.е. x-x1.
Обозначается: ∆x ( любое по знаку),x– старое значение, x + ∆x – новое значение.
Функция y=f(x), определенная на множестве x, называется непрерывной при x=x0, x0
x , или непрерывной в точке x0, если
1.функция определена при x=x0 (т.е. x0 и некоторой окрестности)
2.приращение функции в точке x0 стремится к 0, когда приращение аргумента ∆x
стремится к 0, т.е. lim[ f ( x  x)  f ( x )]  0
x0
0
0
, где бесконечно малая ∆x приобретает лишь те значения, для которых
смысл.
f(x0 + ∆x) имеет
Другое определение непрерывности функции.
Функция y=f(x) называется непрерывной при x→x0, если
1)эта функция определена при x=x0
2) lim f ( x) f ( x )
(Это эквивалентные определения).
0
xx
0
Теорема Если функция непрерывна, то знаки предела и функции перестановимы
lim f ( x) f (lim x)
xx
0
Теоремы о непрерывных
функциях.
1.Основные элементарные функции непрерывны в области определения.
2.Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
3.Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.
4.Частное от деления двух непрерывных функций есть функция, непрерывная во всех
точках, в которых делитель не равен 0.
Следствие: R(x)=
a 0  a1 x  ...  a n x n
b0  b1 x  ...  bm x m
непрерывна всюду, за исключением тех значений x, в которых знаменатель равен 0
5.Непрерывная функция от непрерывной функции есть функция непрерывная.
6.Теорема о непрерывности обратной функции.
Если функция y=f(x) непрерывна и строго монотонна ( строго возрастает или строго
убывает) на промежутке [a, b], то существует однозначная обратная функция x=φ(y),
ограниченная на промежутке [f(a),f(b)], причем x=φ(y) непрерывна и монотонна в
том же смысле.
«Истинное» значение функции.
Если
lim f ( x)  f ( x 0 ) , то f(x) непрерывна в точке x0.
x  x0
Операция нахождения lim называется раскрытием неопределенности, а сам предел,
если он существует, называется «истинным» значением функции f(x) при x=x0.
Классификация точек разрыва.
Точка, в которой нарушается непрерывность функции, называется точкой разрыва этой
функции.
Функция разрывна т.к.: 1. не существует предела функции в этой точке, или
2. предел функции в данной точке, т.е. левый предел равен правому пределу, но он не
совпадает со значением функции в данной точке.
Точка x0 называется точкой разрыва 1-ого рода устранимого разрыва функции, если
lim f ( x)
xx
=
lim f ( x)
x x
0
≠f(x0). (если f(х ) не существует).
0
Функция, допускающая на отрезке лишь конечное число точек разрыва 1-ого
рода, называется кусочно-непрерывной на этом отрезке ( в точках разрыва
функция может быть не определена).
Тот факт, что A есть предел функции y = f(x)
в точке x = x0, записывается формулой:
lim f ( x)  A.
x  x0
Рассмотрим функцию
y
x
x
2 x.
Очевидно, что если x > 0, то y = 2x;
если x < 0, то y = –2x; при x = 0 функция не
определена.
График функции изображен на рисунке 3.
Легко убедиться в том, что, согласно
приведенному выше определению предела,
эта функция в точке x = 0 предела не имеет.
Понятие производной функции в точке х0
y
Производной функции y f (x) в точке х0 называется lim
, если этот предел сущ. y( x )  lim y
x0 x
x0 x
0
Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности
Если функция y  f (x) дифференцируема в точке х0 , то она непрерывна в этой
точке
Производная как функция. Правила дифференцирования
Пусть D - множество точек, в которых функция f дифференцируема.
1
Сопоставляя каждому xD число f (x) , получим новую функцию с областью
определения
D
1
и обозначается
1
. Эта функция называется производной функции
f  или y
Правила дифференцирования:
(U V ) U V 
(UV ) U V UV 

U  U V UV 
V
V2










y  f (x)
Производная сложной функции.
Пусть U  (x) и y  f (U ) . Тогда
y  f  (x)
называется сложной функцией от х.
Теорема:Если функция U  (x) имеет производную
y  f (U )
y
U
y  f  (x)
имеет производную
сложная производная
y. x  y U x
U


U x
в точке х, а функция
в соответствующей точке U, то
в точке х имеет производную
yx
, причем
Геометрический и физический смысл производной.
Геометрический смысл: Пусть функция y  f (x) дифференцируема в точке х0,
тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке


, равен y x 
 x ; f ( x )


0
0




0 
Физический смысл:
материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону
S  f (t)
, где t- время, S – путь, проходимый точкой за время t.
Тогда скорость точки в момент времени t равна
V  S (t)
Таблица производных
элементарных функций
1)
C  0, где C  const
2)
3)
1
(ctg x)   2
sin x
sin x  0
(arcsin x)  1
1 x2
(arccos x)   1
1 x2
5) (arctg x)  1
1 x2
4)
6) (arcsin x) 
7)
8)
(a x)  a x ln a
Частный случай:
(tg x) 
, где a>0,
a 1
(e x )  e x
1
cos2 x
cos x  0
10)
(sin x)  cos x
cos x  0
11)
(cos x)  sin x
9)
12)




loga x  1 , где a>0,
x ln a
1
1 x2
(xn)  n xn1, где n – натуральное число



Частный случай:



a 1

ln x   1
x
Вопросы:
1)Какие точки называют точками разрыва
первого рода?
2)Какие точки называют точками разрыва
второго рода?
3)Геометрический смысл производной?