ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЗАДАЧА О ВЫЧИСЛЕНИИ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ Решим задачу о вычислении площади фигуры, ФИГУРЫ ограниченной графиком функции y f x, отрезками прямых , и осью Ox.Такую фигуру называют криволинейной трапецией x a, x b a xi 1 xi b ЗАДАЧА О ВЫЧИСЛЕНИИ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Разобьем отрезок a, b на n частей точками a x0 , x1, x2 ,..., xi 1, xi ,..., xn b . При этом криволинейная трапеция разобьется на n элементарных криволинейных трапеций. Заменим каждую такую криволинейную трапецию прямоугольником с основанием xi xi xi 1 , где i 1,2,.., n и высотой h f xi , где xi -произвольно выбранная внутри отрезка xi 1, xi точка. ЗАДАЧА О ВЫЧИСЛЕНИИ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Площадь прямоугольника будет равна Si f xi xi , а площадь всей криволинейной фигуры приблизительно будет равна сумме площадей всех прямоугольников: n n i 1 i 1 S Si f xi xi . ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение. n Выражение f xi xi , где i 1 xi xi xi 1 , называется интегральной суммой функции f x на отрезке a, b . Определение. Если существует конечный n lim f xi xi , не max xi 0 i 1 зависящий ни от способа разбиения отрезка a, b на части, ни от выбора точек xi xi1 , xi , то этот предел называется определенным интегралом функции f x на отрезке a, b и b обозначается f x dx . a Замечание. С геометрической точки зрения b при f x 0 f x dx равен a площади криволинейной трапеции ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Теорема. Если функция f x непрерывна на отрезке a, b , то n f xi xi lim max xi 0 i 1 существует и конечен, т.е. b существует и конечен f x dx . a СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА a 1. f x dx 0 ; a b 2. dx b a ; a b a 3. f x dx f x dx ; a b b 4. f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ; a b b a a СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА b b a b a 5. Kf x dx K f x dx ; c b a c 6. f x dx f x dx f x dx ; a b 7. f x dx 0 , если f x 0 . a ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ДНЕМ Если функция непрерывна на[ a, b], существует такая точка b что [a, b], f ( x)dx f ( )(b a). a y f (x) a b то ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Теорема. Пусть F x - первообразная функции f x . b Тогда f x dx F b F a . a Эту формулу называют формулой Ньютона-Лейбница, из которой следует, что для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную подынтегральной функции. ПРИМЕР 3 Вычислить x 3 e 3 dx e 0 1 3 x e 3 dx 0 0 x 3 dx . 1 x 3e 3 3 0 3 e 1 1 1 3 0 3 e 3 e 3 1 e 1 1 3 1 3 e e ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА Теорема (Замена переменной в определенном интеграле). Пусть f x непрерывна на a, b , а функция x t непрерывна вместе со своей производной t на отрезке , , причем a , b . Тогда b a f x dx f t t dt . ПРИМЕР x 1 t x 1 t 2 3 0 xdx 2 t2 x t 1, dx 2tdt 1 x 1 x 0, t 1 2 1 2tdt t x 3, t 2 2 t 8 1 2 t 1 dt 2 t 1 dt 2 t 2 2 1 3 1 1 3 3 1 2 2 2 2 3 1 4 8 8 7 2 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 Теорема (Интегрирование по частям в определенном интеграле). Если функции u ux , v vx и их производные u x и v x непрерывны на отрезке a, b , то b b a a b udv u v vdu . a ПРИМЕР dx e dx u ln x, du e x x ln x 1 x ln xdx x 1 1 dv dx, v x e x ln e x1 e dx e ln e ln 1 1 e x1 e e 1 1 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Замечание. f x dx не является определенным интегралом. a Считается по определению, что b f x dx lim f x dx . Если этот предел a b a конечен, то f x dx , называемый a несобственным, сходится. Если же этот предел не является конечным, то интеграл расходится. ПРИМЕР Вычислить несобственный интеграл 0 xdx x2 4 (или установить его расходимость). 0 b xdx 1 d ( x 2 4) 1 2 lim 2 lim ln( x 4) 2 0 b x 4 2 x 4 2 b 0 b 1 lim (ln(b 2 4) ln 4) 2 b Этот несобственный интеграл расходится. ПРИМЕР Несобственный интеграл 0 dx 2 x 4 1 b 1 lim arctg arctg () b 2 2 2 22 4 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ Площадь фигуры в декартовых координатах. y y f x x 0 a b Площадь такой фигуры, называемой криволинейной трапецией, вычисляют по b формуле S f x dx . a ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций y f 1 x , y f 2 x , f 1 x f 2 x и двумя прямыми b x a и x b определяется по формуле S f 2 x f1 x dx a В случае параметрического задания кривой, площадь фигуры, ограниченной прямымиx a, x b, осью Ох и кривой x (t ), y (t ), вычисляют по t2 формуле S (t ) (t )dt , t1 где пределы интегрирования определяют из уравнений a (t1 ), b (t 2 ). . Площадь полярного сектора вычисляют по формуле 1 2 S r ( )d 2 . β α r r ( ) ПРИМЕРЫ Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и 2 y x 2x 3 y x 2 1 Получим S x 2 x 3 x 1dx 2 x 1 1 2 2 2 2 x 4 dx 2 2 1 x x 2x 2 x 2 x 2 dx 2 3 2 2 2 1 3 2 1 1 8 8 4 1 1 2 2 4 2 2 6 3 3 2 3 2 3 2 1 9 2 3 8 2 9 2 2 ПРИМЕРЫ x2 y2 Найти площадь эллипса 2 2 1. a b Параметрические уравнения эллипса x a cos t , y b sin t. 0 S 4 b sin t (a sin t )dt /2 у /2 b х о a 4ab sin tdt 4ab 2 0 /2 0 1 cos 2t dt 2 1 1 /2 4ab(t sin 2t ) 0 2ab ab. 2 2 2 ПРИМЕР Площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли r 2 a 2 и лежащей вне круга радиусаr 1 2 /6 1 0 a cos 2d 2 2 /6 0 a 2 cos 2 : 2 /6 a 1 2 1 2 d ( a sin 2 a ) 2 4 4 0 1 2 a2 3 a2 a (sin ) ( ) ( 3 ) 4 3 6 4 2 6 8 3 a2 S 2 ( 3 3 ) ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ДУГИ Если кривая задана параметрическими y, t , то длина ее уравнениямиx t t2 дуги l t1 t 2 t 2 dt , где t1 ,t 2 –значения параметра, соответствующие концам дуги . ДЛИНА ДУГИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ Если bкривая задана уравнением y f x , то l 1 f x 2 dx, где a, b–абсциссы начала и a конца дуги a b . Если кривая задана уравнением d x g y , то l c 1 g y 2 dy , где c, d– ординаты начала и конца дуги c d ДЛИНА ДУГИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Если кривая задана уравнением в полярных координатах , то l 2 2 d , где , –значения полярного угла, соответствующие концам дуги . ПРИМЕРЫ Вычислить длину дуги кривой от точки O0,0 до B 4,8 . 3 12 y x x 2 3 2 4 l 0 9 4 1 x dx 4 9 y x 3 , тогда 4 0 4 2 9 1 x 9 3 4 9 9 1 xd 1 x 4 4 3 2 4 0 8 10 10 1 27 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, a оси xb ограниченной , отрезком y f кривой x x a , xи прямыми b абсцисс , вычисляется по формуле b Vx π f x dx 2 a ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной кривой x g y , отрезком оси ординат c y d и прямыми y c , y d , вычисляется по формуле d Vy . g y c 2 dy ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ y x2 y y x 1 А 0 1 Рис. 14 Искомый объем можно найти как разность объемов, полученных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций, ограниченных линиями y x и 2 yx РЕШЕНИЕ Тогда 1 x dx x dx 1 Vx 2 0 1 1 2 x xdx x dx 2 0 0 01 4 3 2 5 10 0 2 2 5 1 x 5 0