Вычисление площади с помощью интеграла

Вычисление площади с
помощью интеграла
Фофанова Марина Михайловна
Преподаватель математики
Технико-экономический
профессиональный лицей №11
г.Томска
Цель урока:
Формирование навыка вычисления
площади фигур, ограниченных
прямыми, параболами, графиками
простейших функций с помощью
интеграла.
ПЛАН УРОКА:
Вспомним про интеграл, формулу
Ньютона-Лейбница
Площадь криволинейной трапеции
Запись площади через интеграл
Интеграл как площадь подграфика
«Легче найти доказательство,
приобретя сначала некоторое
понятие о том, что мы ищем, чем
искать такое доказательство без
всякого предварительного знания».
Архимед
( ок. 287-212 до н.э.)
КОРОТКО ОБ ИНТЕГРАЛЕ МОЖНО СКАЗАТЬ
ТАК:
ИНТЕГРАЛ – ПЛОЩАДЬ.
Пусть функция f(x) непрерывна и
неотрицательна на отрезке [а;b]. Тогда
площадь соответствующей
КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
находится по формуле НьютонаЛейбница
Площадь криволинейной
трапеции
Пример1.
Вычислить площадь
фигуры,
ограниченной
линиями у  х 3 , у  0, х  1.
Решение:
2
4
x
S   x 3 dx 
4
1
2
1
2 4 14 15
3

 
3
4 4
4
4
у  х3
Если требуется вычислить площадь
фигуры, ограниченной несколькими
линиями, то находят криволинейные
трапеции, пересечение или
объединение которых есть данная
фигура, вычисляют площадь каждой из
них и находят разность или сумму
площадей этих криволинейных
трапеций.
Формулы вычисления площади с
помощью интеграла
Рис.1
Пример 2.
Вычислите площадь
фигуры,
ограниченной
линиями
у  х , у   х  2.
2
Пример 3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у  cos x,
у  0,
П
3П
 х
если
2
2
Запись площади через
интеграл
Задание 1.
Запишите площадь
заштрихованных фигур
с помощью интегралов.
1)
2)
3)
Задание 2.
1
0
Найдите, как с
помощью интеграла
записывается
1
площадь
заштрихованной
фигуры
2
2
 x dx 
 xdx 
 (2  x )dx 
0
1
2
  (2  x )dx
2
1
0
2


2  x dx
2
2
  (2  x 2 )dx
0
1
2
2
 2xdx 

0
2
0
0
  2(1  x 2 )dx
  x 2 dx
4  x dx 
1
0
2
3
4
5
a
b
c
d
e
Интеграл как площадь подграфика
Задание 3.
Выразите
следующие
интегралы
через
площади S1,
S2, S3 и S4
фигур,
указанных на
рисунке.
Список литературы:
Г.Д.Глейзер Алгебра и начала анализа:
Учеб. Пособие для 9-11 кл.-М.: Просвещение,
1986.
М.И.Башмаков Алгебра и начала анализа 1011 кл.-М.:Дрофа, 2001.
Интеграл и его применение Дидакт.матер.по
курсу алгебры и начала анализа для 10-11 кл.
ср. шк./Под ред.М.И.Башмакова.СПб.,СВЕТ,1996.