Дискретная математика (основной поток) Занятие 1 1. Докажите равносильность составных высказываний а) ¬(A → B) и A ∧ ¬B; б) A → B и A → (A ∧ B); в) ¬(A ≡ (A ∨ ¬B)) и ¬A ∧ ¬B. 2. Среди высказываний И, A ∧ (C ∨ B), A ∨ B, B найдите равносильное высказыванию (A ∧ C) ∨ (A ∧ ¬C) ∨ ¬(¬A → ¬B). 3. а) Докажите дистрибутивность дизъюнкции относительно эквивалентности, то есть тавтологичность составного высказывания A ∨ (B ≡ C) ≡ (A ∨ B) ≡ (A ∨ C) . б) Выполняется ли дистрибутивность конъюнкции относительно эквивалентности? 4. Докажите, что min(x, y) + max(x, y) = x + y для любых действительных чисел x, y. 5. Рассмотрим такие целые числа x, y, z, w, что x + y + z = w. Обозначим через A высказывание «w чётное», через B — «ровно одно из чисел x, y, z чётное», а через C — «все числа x, y, z чётные». Докажите, что A ≡ (B ∨ C). 6*. Найдите ошибку в доказательстве, записанном как цепочка равенств 1= √ 1= √ 2 p √ √ (−1) · (−1) = −1 · −1 = −1 = −1. 7*. Сколько раз встречается И в таблице истинности высказывания ^ (¬xi ∨ xj )? 1⩽i<j⩽1000 8*. Решите бесконечную систему неравенств: найдите все такие пары x, y действительных чисел, что x + ty ⩾ 0 для всех действительных t. ПМИ ФКН ВШЭ, 2021/22 уч. г. Дискретная математика (Основной поток) Домашнее задание 1 Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы. 1. Докажите, что составное высказывание (A → B) ∨ (B → C) является тавтологией. 2. Ассоциативна ли импликация? Другими словами, равносильны ли высказывания A → (B → C) и (A → B) → C? 3. Выполняется ли дистрибутивность для конъюнкции относительно импликации? Другими словами, равносильны ли высказывания A ∧ (B → C) и (A ∧ B) → (A ∧ C)? 4. Выполняется ли дистрибутивность для импликации относительно импликации? Другими словами, равносильны ли высказывания A → (B → C) и (A → B) → (A → C)? 5. Запишите с помощью связок ¬, →, ∧, ∨ составное высказывание «истинны более половины высказываний A, B, C». 6. Докажите, что для любых неотрицательных действительных чисел a, b, n из a · b = n следует √ √ (a ⩽ n) ∨ (b ⩽ n). 7. Докажите, что n25 + n64 чётно для всех положительных целых n. 8. Рассмотрим такие целые числа x, y, z, w, что x2 + y 2 + z 2 = w 2 . Обозначим через A высказывание «w чётное», через B — «все числа x, y, z чётные». Докажите, что A ≡ B. ПМИ ФКН ВШЭ, 2021/22 уч. г.
