20-дз-16-17марта-24ТЮМ

XXIV УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. НИЖНИЙ ТАГИЛ, 1–7.12.2004
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №2. 4.12.2004
ВЫСШАЯ ЮНИОРСКАЯ ЛИГА
1. Найдите наибольшее натуральное число A, не содержащее в записи нулей
и такое, что сумма цифр числа A равна 10, а сумма цифр числа 2A меньше
20.
2. Несколько клеток доски 10×10, не имеющие общих сторон, покрашены в
красный цвет. Докажите, что оставшиеся клетки можно покрасить в три
других цвета так, чтобы клетки, имеющие общую сторону, были окрашены
в разные цвета.
3. При каких n можно расставить числа от 1
до 2n+1 в кружки так, чтобы любое число в
нижнем ряду было равно разности чисел, стоящих в верхнем ряду и соединенных с ним?
На картинке всего 2n + 1 кружок.
…
…
Определим число n? («эн вопросиал») следующим образом: 1? = 1,
n
n? = (n  1) ? для всех n>1. Докажите, что n?×n! – точный квадрат.
4.
5. Два игрока по очереди берут от одного до пяти камней из кучи, содержащей в начале 2004 камня. Повторять последний ход, сделанный другим
игроком, нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет
при правильной игре?
6. В некоторые клетки квадрата 4×4 поставлены звездочки. Для каждого
вертикального, горизонтального, а также диагонального ряда (диагональный ряд может состоять из четырех, трех, двух и одной клетки) известно
количество звездочек, стоящих на нем. Докажите, что по этим данным не
всегда можно однозначно восстановить расположение звездочек.
7. Существует ли такой выпуклый четырехугольник, все стороны которого
различны и среди них нет параллельных, что его можно разрезать прямолинейным разрезом на две части, каждая из которых имеет ось симметрии?
8. Сколькими способами можно отметить несколько чисел от 1 до 10 так,
чтобы любое составное число, не большее 10, имело четное число делителей среди отмеченных (единица и само число также являются делителями)?