Домашнее задание к 17.10.2013 (Б.Печёрская, 8-9 класс)
advertisement
Домашнее задание к 17.10.2013 (Б.Печёрская, 8-9 класс) Самостоятельное решение выбранных случайным образом геометрических задач с Уральских турниров юных математиков и олимпиад имени Эйлера. Использование компьютерной программы с попыткой решать методом «идеального» построения. Свойство ряда равных отношений, пропорциональность отрезков, теорема Фалеса см. Понарин «Элементарная геометрия. т.1», с.16-20. Формула количества натуральных делителей и свойства сравнений - см. книгу Оре "Приглашение в теорию чисел" (с.35-41, 90-94) и файл "Сравнения-диофантовы уравнения" в архиве. 1. Решить в целых числах уравнения: а) 14xy-20x-21y=400; б) 10xy+x+y=23. 2. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана такая точка K, что отрезок AK пересекает медиану BM в точке N, причем AN = BC. Докажите, что NK=KB. 3. Докажите с помощью теоремы Пифагора, что в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Докажите и обратный факт. 4. Докажите с помощью теоремы Пифагора теорему о том, что медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. 5. Найдите ещё какие-нибудь классические факты (см. например, книгу Акопяна «Геометрия в картинках»), следующие из теоремы Пифагора. 6. В клетках таблицы 66 как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 36. Докажите, что можно вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была четна.
