Домашнее задание к 17.10.2013 (Б.Печёрская, 8-9 класс)

Домашнее задание к 17.10.2013 (Б.Печёрская, 8-9 класс)
Самостоятельное решение выбранных случайным образом геометрических задач с
Уральских турниров юных математиков и олимпиад имени Эйлера. Использование
компьютерной программы с попыткой решать методом «идеального» построения.
Свойство ряда равных отношений, пропорциональность отрезков, теорема Фалеса 
см. Понарин «Элементарная геометрия. т.1», с.16-20.
Формула количества натуральных делителей и свойства сравнений - см. книгу Оре
"Приглашение в теорию чисел" (с.35-41, 90-94) и файл "Сравнения-диофантовы
уравнения" в архиве.
1. Решить в целых числах уравнения: а) 14xy-20x-21y=400; б) 10xy+x+y=23.
2. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана такая точка K, что отрезок AK
пересекает медиану BM в точке N, причем AN = BC. Докажите, что NK=KB.
3. Докажите с помощью теоремы Пифагора, что в треугольнике напротив большего
угла лежит большая сторона. Докажите и обратный факт.
4. Докажите с помощью теоремы Пифагора теорему о том, что медиана из вершины
прямого угла равна половине гипотенузы.
5. Найдите ещё какие-нибудь классические факты (см. например, книгу Акопяна
«Геометрия в картинках»), следующие из теоремы Пифагора.
6. В клетках таблицы 66 как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 36.
Докажите, что можно вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся
чисел была четна.