Свойство ряда равных отношений, пропорциональность

Домашнее задание к 17.10.2013 (Б.Печёрская, 8-9 класс)
Самостоятельное решение выбранных случайным образом геометрических задач с
Уральских турниров юных математиков и олимпиад имени Эйлера. Использование
компьютерной программы с попыткой решать методом «идеального» построения.
Свойство ряда равных отношений, пропорциональность отрезков, теорема Фалеса 
см. Понарин «Элементарная геометрия. т.1», с.16-20.
Формула количества натуральных делителей и свойства сравнений - см. книгу Оре
"Приглашение в теорию чисел" (с.35-41, 90-94) и файл "Сравнения-диофантовы
уравнения" в архиве.
Основные понятия теории графов (вершины, рёбра, степень вершины, теорема о
чётности количества нечётных вершин, путь, цикл, связность, дерево, двудольные
графы)  «Ленкружки» (с.47-55), Оре «Графы и их применение».
1. В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к биссектрисе AD пересекает
сторону AC в точке K. Через точку C проведена прямая, параллельная КB, которая
пересекает прямую AB в точке L. Докажите, что AC=BL. (Нижегородская устная
геометрическая олимпиада «УГОЛ», 2013 г.)
2. На стороне AD прямоугольника ABCD находится точка M, а на сторонах AB и CD
взяты точки P и Q так, что отрезок PM параллелен диагонали BD, а отрезок QM
параллелен диагонали AC. Докажите, что площади треугольников PBM и QCM равны.
3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки А1 и С1 соответственно так, что
АА1=СС1. Точки M и N – середины отрезков АС и А1С1 соответственно. Докажите, что
прямая MN параллельна биссектрисе угла В. (Нижегородская городская открытая
олимпиада 2012г., 9 класс)
4. После вечера танцев, где юноши танцевали с девушками, всех его участников
спросили, со сколькими партнерами (партнершами) они танцевали. Были получены
следующие ответы: 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6. Докажите, что кто-то ошибся.
5. В классе каждый мальчик дружит ровно с тремя девочками, а каждая девочка ровно с двумя мальчиками. Может ли в этом классе быть всего: а). 24 человека, б). 25
человек?
6. На кошачьей выставке в ряд сидели 19 кошек и 10 котов, причем рядом с каждой
кошкой сидел кот, который был толще, чем она. Докажите, что рядом с каждым котом
сидела кошка, которая была тоньше, чем он.
7. В таблице 44 закрашены некоторые клетки. Разрешается менять
местами любые два столбца или две строки. Можно ли с помощью
таких операций из левой таблицы получить правую?
8. В клетках таблицы 66 как-то расставлены все натуральные числа от 1 до 36.
Докажите, что можно вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся
чисел была четна.