Задачи для 10-11 классов

Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова
Институт математики, информационных и космических технологий
Олимпиада по математике 10-11 класс
26.03.2013
1. Машинистка напечатала 10 писем и адреса на 10 конвертах, но рассеянная секретарша
разложила эти письма по конвертам, нисколько не заботясь о соответствии между
письмом и адресом. Правда в каждый конверт она положила по одному письму. Какова
вероятность того, что: а) ровно девять писем попали в предназначенные для них
конверты; б) ни одно письмо не попало в свой конверт?
2. Два миллиона отмеченных точек целиком расположены внутри окружности радиусом 1
см. Существует ли прямая, по каждую сторону от которой находилось бы ровно по
одному миллиону точек?
3. Найти остаток от деления 𝑓(𝑥 5 ) на 𝑓(𝑥), если 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1.
4. В правильный треугольник 𝐴𝐵𝐶 вписана окружность. Доказать, что для любой точки 𝑃
на этой окружности 𝑃𝐴2 + 𝑃𝐵 2 + 𝑃𝐶 2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
5. Карты в колоде перенумерованы от 1 до 36, а затем тщательно перетасованы. Из
колоды случайным образом вынимают последовательно 5 карт. Какова вероятность того,
что номера этих карт будут идти в возрастающем порядке.
6. Доказать, что перпендикуляр, восстановленный из середины отрезка, соединяющего
основания двух высот треугольника, делит третью сторону пополам.
7. Докажите, что если биссектрисы треугольника меньше 1, то его площадь меньше
√3
.
3
Верно ли такое же утверждение для медиан и высот?
8. Докажите, что у любого тетраэдра есть по крайней мере одна вершина, все плоские
углы при которой острые?
9. Чему равна наибольшая площадь ортогональной проекции а) единичного куба на
плоскость; б) прямоугольного параллелепипеда со сторонами 𝑎, 𝑏, 𝑐 на плоскость?
10. В школе 𝑛 учеников посещают 2𝑛−1 кружок (все кружки разные, т.е. не совпадают по
составу учеников). Известно, что любые три кружка имеют общего ученика. Докажите,
что найдется ученик, посещающий все эти кружки.
11. В конечном множестве 𝑋 выбрано 2013 подмножеств 𝐴1 , 𝐴2 , …, 𝐴2013 , причем каждое
из них содержит больше половины элементов из 𝑋. Докажите, что можно отметить 10
элементов множества 𝑋 так, что в каждом 𝐴𝑖 будет хотя бы один отмеченный элемент.
12. Найти все непрерывные функции 𝑓, для которых 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) − 𝑥𝑦 при
любых 𝑥 и 𝑦.