Младшие-3листок

Весенний марафон-2016. Младшая группа. 3 листок
Задача 3. Какое наибольшее количество клеток можно отметить на доске
1010 так, чтобы каждая клетка имела четное число отмеченных соседей?
Соседями считаются клетки, имеющие общую сторону.
Задача 7. На шахматной доске расставили 31 фишку так, что никакие 2 из
них не находятся на соседних клетках (по стороне). Известно, что на черных клетках фишек больше. Какое наибольшее число фишек может находиться на белых клетках?
Задача 8. Клетки прямоугольной таблицы раскрасили в несколько цветов
так, что каждым цветом оказались раскрашены 4 клетки, центры которых
являются вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными краям
таблицы. Докажите, что если длина стороны одной клетки таблицы равна 1,
то сумма периметров всех прямоугольников делится на 4.
Задача 12. Положительные числа a, b, c удовлетворяют условию
5(a2+b2+c2) < 6(ab+bc+ca). Докажите, что числа a, b, c равны длинам сторон
некоторого треугольника.
Задача 18. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D такая, что
AC = BD и ABD = 25. Известно, что BAC = 40. Докажите, что
AD+BC > AB.
Задача 19. В ряд выписаны 2005 чисел. Первые два числа равны 1, а каждое
число, кроме первого и последнего, на единицу меньше произведения двух
соседних с ним. Чему равно произведение всех этих чисел?
Задача 20. В государстве 20 городов, причем между любыми двумя городами проложена дорога. Министерство путей сообщения может закрыть на
ремонт любую дорогу из четырех, образующих циклический маршрут. Может ли после нескольких таких операций остаться только 20 дорог?
Задача 21. В компании из 100 человек среди любых 50 есть одно и то же
(ненулевое) количество пар знакомых. Какое наименьшее количество пар
знакомых может быть среди всех 100?
Задача 22. Имеется 8 внешне неразличимых монет, веса которых — различные натуральные числа. Известно, что если на левую и правую чаши
исправных двухчашечных весов произвольным образом положить по две
монеты, то перевесит та чаша, на которой лежит самая тяжелая монета из
этих четырех. Какой наименьший вес может иметь самая тяжелая монета?
Задача 23. В выпуклом четырехугольнике ABCD B = C = 120, а
BC + CD = AB. Докажите, что AC = AD.