Листок 4. Мартингалы. Срок сдачи 18 марта. Всюду далее, если

Листок 4. Мартингалы. Срок сдачи 18 марта.
Всюду далее, если идет речь о мартингале без явного указания потока σ-алгебр, то имеется ввиду,
что поток порожден самими с.в. ξi : Fn = σ{ξ1 , · · · , ξn }.
(1) Докажите, что мартингал ξt , IE(ξt2 ) < ∞ — процесс с некоррелированными
приращениями.
Qn
(2) Пусть {ξk } — независимые с.в. со средним 1. Докажите, что Xn = k=1 ξk — мартингал.
Pn
(3) Пусть {ξn } — последовательность
стандартных гауссовских с.в., Sn = i=1 ξi .
независимых
2
Sn
1
— мартингал.
exp 2(n+1)
Докажите, что Xn = √n+1
(4) Пусть (ξn , Fn ) — мартингал, a ∈ R. Определим момент остановки τ = inf{n ≥ 0; ξn ≤ a}.
Докажите, что τ — марковский момент.
(5) Пусть τ, σ — марковские моменты относительно потока Fn . Докажите, что τ + σ, min(τ, σ),
max(τ, σ) — марковские моменты.
(6) Пусть в задаче о разорении τ — момент окончания игры. Найдите среднюю продолжительность игры. Указание: докажите, что процесс Sn2 − n — мартингал, где Sn — капитал игрока
в момент времени n.
(7) Докажите следующую версию теоремы о дифференцировании монотонных функций. Пусть
f — ограниченная монотонная функция на [0, 1]. Для фиксированного x ∈ [0, 1] и целого
n ≥ 0 положим x = k2−n + ε, где k — целое, 0 ≤ ε < 2−n . Положим an (x) = k2−n , bn (x) =
(k + 1)2−n . Докажите, что предел
lim
n→∞
f (bn (x)) − f (an (x))
bn (x) − an (x)
существует для почти всех x ∈ [0, 1]. Указание: рассмотрите последовательность σ-алгебр
Fn , порожденных множествами
[k2−n , (k + 1)2−n ), k = 0, · · · , 2n − 1.
(8) Пусть ξn — мартингал с IEξn = 0 и IEξn2 < ∞ для всех n. Покажите, что для x > 0
P ( max ξk > x) ≤
1≤k≤n
IEξn2
.
IEξn2 + x2
(9) Пусть ξn — последовательность независимых с.в. Предположим, что существует t > 0 со
свойством IEetξn = 1. Докажите, что P (Sk > x для некоторого k ∈ N) < e−tx , где Sn =
ξ1 + · · · + ξn .
(10) В комнате K шляп, принадлежащих K людям. За одну попытку каждый присутсвующий
выбирает случайным образом одну шляпу. После этого все, выбравшие свой шляпу уходят,
для остальных попытка повторяется. Пусть N — общее число попыток, затраченное на
разбор всех шляп. Найти IEN .
1