

Свойство ряда равных отношений, пропорциональность отрезков, теорема Фалеса 
см. Понарин «Элементарная геометрия. т.1», с.16-20.
1. Боковая сторона AD трапеции ABCD (AB||CD) разделена точками М и Р (Р лежит
между А и М) на три равные части. Через точки М и Р проведены две прямые – MN и
PQ, параллельные основаниям трапеции (N и Q лежат на боковой стороне СВ).
Найдите длины отрезков MN и PQ, если АВ=2, CD=5.
2. Найдите MN для трапеции из предыдущей задачи, если AM:MD=4:11.
3. На наибольшей стороне АВ треугольника ABC взяли точки М и N такие, что ВС =
ВМ и СА = AN, a на сторонах СА и ВС  точки Р и Q такие, что РМ параллелен ВС и
QN параллелен СА . Докажите, что QC = СР.
4. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана такая точка K, что отрезок AK
пересекает медиану BM в точке N, причем AN = BC. Докажите, что NK=KB.
5. Докажите с помощью теоремы Пифагора, что в треугольнике напротив большего
угла лежит большая сторона. Докажите и обратный факт.
6. Найдите ещё какие-нибудь классические факты (см. например, книгу Акопяна
«Геометрия в картинках»), следующие из теоремы Пифагора.
7. На доске написаны числа 1, 2, ..., 33. За один шаг можно стереть любые два числа,
произведение которых — квадрат натурального числа, и вместо них записать
квадратный корень из их произведения (в частности можно заменить два равных числа
на одно). После нескольких шагов на доске остались числа, произведение любых двух
из которых — не точный квадрат. Докажите, что на доске осталось не менее 16 чисел.
8. Есть 9 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). За два
взвешивания на двухчашечных весах найдите фальшивую монету.
9. Есть 30 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). Можно ли за три
взвешивания на двухчашечных весах гарантированно найти фальшивую монету?
10. Имеется множество билетов с номерами от 1 до 30 (номера могут повторяться).
Каждый из учеников вытянул один билет (учеников не обязательно 30). Учитель
может произвести следующую операцию: прочитать список из нескольких (возможно
одного) номеров и попросить их владельцев поднять руки. Какое минимальное число
раз ему надо проделать такую операцию, чтобы узнать номер билета у каждого
ученика?