Упражнения по теме «Определенный интеграл» УПРАЖНЕНИЯ по теме «Определенный интеграл» 1. Касательная к графику функции y = f (x) в точке M 1 (a; f (a )) со- ставляет с осью Ox π угол , а в точке M 2 (b; f (b)) – угол 3 Функция f ′′( x) – непрерывна на [a; b] . Найти интегралы b π 4 . b ∫ f ′′( x)dx ∫ f ′( x) ⋅ f ′′( x)dx . и a a e ∫ 2. Докажите, что если J n = ln nxdx , то J n = e − n ⋅ J n −1 ( n ∈ ℕ). 1 3. Получить рекуррентные π 2 π 2 In = ∫ sin n xdx и K n = формулы ∫ cos n для вычисления интегралов xdx ( n ∈ ℕ и n ≥ 2 ). 0 0 4. Составить рекуррентную формулу и вычислить интеграл 0 In = ∫ x n e x dx ( n ∈ ℕ). −1 5. Составить рекуррентную π 4 In = ∫ tg n формулу для вычисления интеграла xdx ( n ∈ ℕ и n ≥ 2 ). 0 1 6. Доказать справедливость равенства ∫x 1 m ∫ n (1 − x) dx = x n (1 − x) m dx . 0 0 7. Показать, что если f (x) – функция периодическая с периодом T , то a +T ∫ f (t )dt не зависит от a (Подсказка: докажите, что он равен a T ∫ f (t )dt при любом a ). 0 1 8*. Найдите dx ∫ ( e x + 1)( x 2 + 1) . −1 1 dt = 9. Доказать справедливость равенства 2 1 + t x ∫ 1 1x dt ∫1+ t2 1 ( x > 0) . Упражнения по теме «Определенный интеграл» tgx tdt 10. Доказать справедливость равенства + 2 1+ t 1e ∫ 11. Докажите, что если функция ctgx ∫ 1e dt = 1. 2 t (1 + t ) f (x) – нечетная и периодическая с пе- x ∫ f (t )dt риодом T , то также является периодической функцией с тем a же периодом. (Подсказка: используйте тот факт, что для периодичеa +T ской функции с периодом T ∫ f (t )dt не зависит от a ). a x 12. Показать, что если f (x) функция нечетная, то ∫ f (t )dt – функция четa x ∫ f (t )dt – нечетной, если ная. Будет ли f (x) – четная? a 13. Найдите производные: b ⎞ ⎞ ⎞ ⎛x ⎛b d ⎛⎜ d d 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ sin(t )dt ; б) sin(t )dt ; в) sin(t )dt ⎟ ; а) ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ dx dx dx ⎠ ⎠ ⎠ ⎝a ⎝a ⎝x 2 3 0 ⎛x ⎞ ⎛x ⎞ ⎞ d ⎜ d ⎛⎜ d ⎜ 3 ⎟ 3 ⎟ 3 ⎟ г) 1 + t dt ⎟ ; д) 1 + t dt ; е) 1 + t dt ⎟ . ⎟ dx ⎜ 2 dx ⎜⎜ 2 dx ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ ⎝0 ⎠ 14. Найти производную по x от функции y заданной ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ y а) неявно: ∫e t2 x ∫ dt + cos t 2 dt = 0 . 0 0 t2 2 u2 du . y= ln u 2 u du , б) параметрически: x = ln u ∫ ∫ 2 t 15. Найти пределы: x ∫ cos t dt sin x 2 а) lim 0 x x→0 ; ∫ tg t dt ∫ sin t dt 0 tg x → +0 x б) lim . 0 16. Найти точки экстремума и точки перегиба графика функции x ∫ Φ ( x) = (t − 1)(t − 2) 2 dt . Построить график этой функции при a = 0 . a 2 Упражнения по теме «Определенный интеграл» 17. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции x Φ( x) = 2t + 1 dt на отрезке [−1; 1] . 2 t t − 2 + 2 0 ∫ x 18. Найдите длину линии, заданной уравнением y = ∫ cos t dt . −π 2 Ответ: 4. t cos zdz 19. Найдите длину дуги линии x = , z ∫ 1 t y= ∫ 1 sin zdz от начала коz ординат до ближайшей точки с вертикальной касательной. Ответ: ln (π 2 ) . +∞ 20*. Найдите dx ∫ ( x a + 1)( x 2 + 1) ( a – const). 0 3