Объединение множеств

4. Интегрирование рациональных дробей
ОПР. 3
Рациональной дробью (дробно-рациональной функцией) называется
частное от деления двух целых рациональных функций
Q( x) a0 x n  a1 x n 1  ...  an

P( x) b0 x m  b1 x m 1  ...  bm
Если n<m, то
дробь правильная
Теорема. Всякий многочлен n-ой степени разлагается на n линейных
множителей и множитель – коэффициент при xn .
Теорема. Многочлен Pn не может иметь более чем n различных
корней. Если корни повторяются, то их объединяют и говорят, что
x=xi – корень кратности k.
Теорема. Если среди корней есть мнимые, то они обязательно
сопряженные и множитель, за счет которого образуются мнимые
корни, можно оставлять в виде квадратного трехчлена x2+px+q –
многочлен 2-ой степени.
Таким образом, для любого P(x) можно записать:
P( x)  ( x  x1)k1 ( x  x2 )k2 ...( x2  p1x  q1 )m1 ...( x2  ps x  qs )ms
ОПР. 4
Простейшими
(элементарными)
следующего вида
A
x  x1
дробями
называются
Ax  B
x 2  px  q
A
x  x1 m
x
дроби
Ax  B
2
 px  q

m
ТЕОРЕМА 4.
Q( x)
Всякая правильная рациональная дробь
может быть
P( x)
представлена и притом единственным образом, в виде суммы
конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется
разложением на множители знаменателя P(x).
  B1
Ak1
Bk 2
A2
B2
Q( x)  A1


 ... 


 ... 
2
k1 
2
P( x)  x  x1  x  x1 
x  x1    x  x2 x  x2 
 x  x 2  k2
 M xN
M m1 x  N m1 
M 2 x  N2
1
1
  ... 
 2

 ... 
2
m1
2
2
 x  p1 x  q1

x  p1 x  q1
x  p1 x  q1

 F xG
F2 x  G2
1
 2 1

 x  ps x  qs x 2  ps x  qs


2



 ... 
Fms x  Gms



x
2
 p s x  qs

ms

  ... 

A1, A2 ,..., Ak1 , B1, B2 ,..., Bk2 , M1, ..., M m1 , N1,...,Gms - неопределенные коэффициенты
Порядок действий при вычислении интеграла от рационального
выражения
1.
2.
3.
4.
5.
Выделить целую часть (сделать дробь Q(x)/P(x) правильной)
Разложить знаменатель на множители.
Записать дробь в виде суммы простейших дробей.
Определить коэффициенты
Проинтегрировать
5. Интегрирование тригонометрических выражений
Будем использовать запись интеграла от тригонометрических
выражений
 R(sin x, cos x)dx
это означает, что над синусом и косинусом проведены только
рациональные операции (+, –, ., : , ^ ).
Универсальная тригонометрическая подстановка
Выразим x и получим
tg(x/2)=t.
2 dt
x  2arctgt  dx 
1 t 2
sin x 
2t
1 t
2
cos x 
1t 2
1 t2
5. Интегрирование иррациональных выражений
1. R( x, x 2  px  q )dx
2. R( x, a  x )dx
2
3.
2

R( x, a 2  x 2 )dx

R( x, x 2  a 2 )dx
Рекомендуемая подстановка:
x  a  sin t dx  a  cos t dt
a dt
x  a  tg t dx 
cos 2 t
a
sin t dt
x  a  sec t 
dx  a
cos t
cos 2 t



R
(
x
,
x
,
x
, ...)dx

x t
, , g …– дробные рац. числа,

 ax  b 
4.  R( x, 

 cx  d 
 ax  b 
,

 cx  d 

, , g …– дробные рац. числа,
s
s – наименьшее общее кратное , , g

 ax  b 
,
 , ...)dx
 cx  d 
ax  b s
t
cx  d
s – наименьшее общее кратное , , g
5. Дифференциальный бином
ОПР. 6 Выражение вида x ( a  bx ) , где (m,n,p,a,b) – const,
называется дифференциальным биномом.
m
n p
Теорема 5. (Чебышева)
Q выражаются в конечном

виде через элементарные функции, если оказывается целым одно
m
n p
x
(
a

bx
) dx (m,n,p
Интегралы
из чисел:
1) p
∈
)
подстановка
x = ts
(s – наименьшее общее кратное m и n )
m 1
2)
n
Подстановка a  bx n
m 1
3)
p
n
a  bx n s
 t , где s – знаменатель p
Подстановка
n
x
 t s, где s – знаменатель p